文档介绍：线性代数知识点总结
行列式
第一节:二阶与三阶行列式
把表达式称为所确定的二阶行列式,并记作,
即结果为一个数。(课本P1)
同理,把表达式称为由数表所确定的三阶行列式,记作。
即=
二三阶行列式的计算:对角线法则(课本P2,P3)
注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组:
对二元方程组
设
则,(课本P2)
对三元方程组,
设,
,,,
则,,。(课本上没有)
注意:以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节:全排列及其逆序数
全排列:把个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列(或排列)。
n个不同的元素的所有排列的总数,通常用Pn (或An)表示。(课本P5)
逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本P5)
计算排列逆序数的方法:
方法一:分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二:分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。(课本上没有)
第三节:n阶行列式的定义
定义:n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
的代数和,其中p1 p2 … pn是1, 2, …,n的一个排列,每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为,其中为行列式D的(i,j元)。(课本P6)
根据定义,有
说明:
1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程
组的需要而定义的;
2、n阶行列式是项的代数和;
3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;
4、的符号为,t的符号等于排列的逆序数
5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆。
推论1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。
即
推论2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于乘以其副对角线上各元的乘积。
即,(上述二推论证明课本P7例6)
第四节:对换
定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调,叫做相邻对换。(课本P8)
定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。(上述二定理证明课本P8)
定理2 n阶行列式的项可以写为,其中q1q2…qn是行标排列,p1p2 …pn是列标排列。(证明课本P9)
推论设有n阶行列式,则或或(行列式三种不同表示方法)
推论在全部阶排列中,奇偶排列各占一半。
证明设在全部阶排列中有个奇排列,个偶排列,现来证。
将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以。
若将t个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列,全变成奇排列,并且它们彼此不
同,于是有。综上有s=t。
第五节:行列式的性质
定义记,,行列式称为行列式的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。(证明课本P9)
说明行列式中行与列具有同等地位,因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。
性质2 互换行列式的两行或列,行列式变号。(证明课本P10)
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式;
推论1 的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到的外面;
推论2 中某一行(列)所有元素为零,则。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.(证明课本P10)
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变。(课本P11)
计算行列式常用方法:①利用定义;②利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。
说明行列式中行与列具有同等的地位,行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。
第六节行列式按行(列)展开
余子式在阶行列式中,把元素所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元素的余子式,记作。
代数余子式 ,叫做元素的代数余子式。(课本P16)
引理一个阶行列式,如果其中第行所有元素除(i,j)元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即。(证明课本P16)