文档介绍：Mean Shift 概述
Mean Shift 简介
Mean Shift 这个概念最早是由Fukunaga等人[1]于1975年在一篇关于概率密度梯度函数的估计中提出来的,其最初含义正如其名,就是偏移的均值向量,在这里Mean Shift是一个名词,它指代的是一个向量,但随着Mean Shift理论的发展,Mean Shift的含义也发生了变化,如果我们说Mean Shift算法,一般是指一个迭代的步骤,即先算出当前点的偏移均值,移动该点到其偏移均值,然后以此为新的起始点,继续移动,直到满足一定的条件结束.
然而在以后的很长一段时间内Mean Shift并没有引起人们的注意,直到20年以后,也就是1995年,另外一篇关于Mean Shift的重要文献[2],Yizong Cheng对基本的Mean Shift算法在以下两个方面做了推广,首先Yizong Cheng定义了一族核函数,使得随着样本与被偏移点的距离不同,其偏移量对均值偏移向量的贡献也不同,其次Yizong Cheng还设定了一个权重系数,使得不同的样本点重要性不一样,这大大扩大了Mean Cheng指出了Mean Shift可能应用的领域,并给出了具体的例子.
Comaniciu等人[3][4]把Mean Shift成功的运用的特征空间的分析,在图像平滑和图像分割中Mean Shift都得到了很好的应用. Comaniciu等在文章中证明了,Mean Shift算法在满足一定条件下,一定可以收敛到最近的一个概率密度函数的稳态点,因此Mean Shift算法可以用来检测概率密度函数中存在的模态.
Comaniciu等人[5]还把非刚体的跟踪问题近似为一个Mean Shift最优化问题,使得跟踪可以实时的进行.
在后面的几节,本文将详细的说明Mean Shift的基本思想及其扩展,其背后的物理含义,以及算法步骤, Shift在聚类,图像平滑,图像分割,物体实时跟踪这几个方面的具体应用.
Mean Shift 的基本思想及其扩展
基本Mean Shift
给定d维空间中的n个样本点,i=1,…,n,在点的Mean Shift向量的基本形式定义为:
(1)
其中,是一个半径为h的高维球区域,满足以下关系的y点的集合,
(2)
k表示在这n个样本点中,有k个点落入区域中.
我们可以看到是样本点相对于点的偏移向量,(1)式定义的Mean ,如果样本点从一个概率密度函数中采样得到,由于非零的概率密度梯度指向概率密度增加最大的方向,因此从平均上来说, ,对应的, Mean Shift向量应该指向概率密度梯度的方向
.
图1,Mean Shift示意图
如上图所示, 大圆圈所圈定的范围就是,小圆圈代表落入区域内的样本点,黑点就是Mean Shift的基准点,箭头表示样本点相对于基准点的偏移向量,很明显的,我们可以看出,平均的偏移向量会指向样本分布最多的区域,也就是概率密度函数的梯度方向.
扩展的Mean Shift
核函数
首先我们引进核函数的概念.
定义:代表一个d维的欧氏空间,是该空间中的一个点,用一列向量表示. ,即
(3)
并且满足:
是非负的.
是非增的,即如果那么.
是分段连续的,并且
那么,函数就被称为核函数.
举例:在Mean Shift中,有两类核函数经常用到,他们分别是,
单位均匀核函数:
(4)
单位高斯核函数:
(5)
这两类核函数如下图所示.
图2, (a) 单位均匀核函数(b) 单位高斯核函数
一个核函数可以与一个均匀核函数相乘而截尾,如一个截尾的高斯核函数为,
(6)
图 3 显示了不同的值所对应的截尾高斯核函数的示意图.
图3 截尾高斯核函数(a) (b)
Mean Shift扩展形式
从(1)式我们可以看出,只要是落入的采样点,无论其离远近,对最终的计算的贡献是一样的,然而我们知道,一般的说来,离越近的采样点对估计周围的统计特性越有效,因此我们引进核函数的概念,在计算时可以考虑距离的影响;同时我们也可以认为在这所有的样本点中,重要性并不一样,因此我们对每个样本都引入一个权重系数.
如此以来我们就可以把基本的Mean Shift形式扩展为:
(7)
其中:
是一个单位核函数
是一个正定的对称矩阵,我们一般称之为带宽矩阵
是一个赋给采样