文档介绍：构造含30°角的直角三角形解题
山东李树臣
的角是一个特殊的角,它具有一个特殊的性质,即“在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.”这一性质在各类考试中经常出现,,以说明怎样通过添加辅助线构造出含角的直角三角形.
例1 如图1,在中,,等腰直角三角形的斜边在边上,求的长.
分析:本题含有角的条件,因为只有在直角三角形中的角才有上述的特殊性质,所以需作辅助垂线,构造出一个含有角的直角三角形来,这是解决本体的关键所在.
C
A
E
D
B
图1
图2
A
E
B
D
C
解:过点作,,所以
,因为,是等腰直角三角形,所以
。在中,,所以.
例2 在中,,的垂直平分线交于点,,求的长.
分析:根据题意,容易发现,如果连接,则有,而,所以可求.
解:连接,垂直平分,,.,,.
在中.,
,而,
,,故有:.
例3 如图3,,且,求和的长.
图3
A
D
E
C
B
分析:注意到条件,联想到含角的直角三角形的性质,延长和,就可以构造出两个含角的直角三角形来.
解:延长,交于点.
∵,,又,
,
.
又,
,
,
.
例4 如图4,在△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°.求证:AC=AB.
分析:由结论和条件,就想到能否找到或构造直角三角形,而显然图中没有含30°角的直角三角形,所以过作交的延长线于点,这样就得到了直角三角形,这是解决本题的关键.
证明:过作交的延长线于,则.
A
B
C
E
D
图4
.
,
.
又,
,
.