文档介绍：2010年部分省市中考数学试题分类汇编压轴题(一)
24.(2010广东广州,24,14分)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.
C
P
D
O
B
A
E
【分析】(1)连接OA,OP与AB的交点为F,则△OAF为直角三角形,且OA=1,OF=,借助勾股定理可求得AF的长;
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
(2)要判断∠ACB是否为定值,只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值,由于⊙D是△ABC的内切圆,所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线,因此只要∠DAE+∠DBA是定值,那么CAB+∠ABC就是定值,而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角,这个值等于∠AOB值的一半;
(3)由题可知=DE (AB+AC+BC),又因为,所以,所以AB+AC+BC=,由于DH=DG=DE,所以在Rt
△CDH中,CH=DH=DE,同理可得CG=DE,又由于AG=AE,BE=BH,所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=DE+,可得=DE+,解得:DE=,代入AB+AC+BC=,即可求得周长为.
【答案】解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.
在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.
(2)∠ACB是定值.
理由:由(1)易知,∠AOB=120°,
因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,
因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;
(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.
∴
=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.
∵=4,∴=4,∴l=8DE.
∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,
∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.
又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,
∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,
∴△ABC的周长为.
【涉及知识点】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起,需要考生从前往后按顺序解题,前面问题为后面问题的解决提供思路,是一道难度较大的综合题
25.(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S