文档介绍：中子与物质的相互作用及应用(2004年春季)
第四讲(2004年2月12日)
反应截面的计算:相移方法
参考文献:
P. Roman, Advanced Quantum Theory (Addison–Wesley, Reading, 1965),Chap 3
A. Foderaro, The Elements of Neutron Interaction Theory (MIT Press 1971), Chap 4.
我们将研究一种名叫分波的势散射分析方法。这是对两体碰撞过程的量子描述。在质心系
坐标系统中该问题为描述一个约化质量为μ的等效粒子在一个中心势V (r) 中的运动,其中r
为两碰撞粒子之间的距离。我们将会求解薛定谔波动方程来得到该等效粒子的空间分布,然后
从该求解结果中提取对确定角微分反应截面σ(θ)有用的信息。
散射幅度 f(θ)
在利用量子力学处理势散射的问题时,标准的方法是按两步来做,首先按照散射幅度 f(θ)
来定义截面σ(θ),然后通过求解薛定谔方程来计算它。对于第一步,我们可以形象地将散射
过程看作一个入射束射向中心在质心系的原点的势场 V(r),如图 所示。入射波是一个平面
波,
ik()ir−ωt
Ψ=in be ()
其中b 是由归一化条件决定的一个系数,波向量 k= kzˆ沿z 轴方向(入射方向)。k的幅度由
等效粒子的能量 Ek=
22/2µ =hω(碰撞粒子的相对能量)决定。对于在势场V(r) 中反应的
得到的散射波,我们将其写成一个出射球面波的形式:
eik()r−ωt
Ψ=fb()θ()
sc r
其中f(θ) 具有长度的量纲,表示在相对于入射方向θ角度上的散射幅度( 所示)。
很明显,按照() 的表示方法,利用球坐标会更有利。
在对入射波和散射波进行表示之后,对应的流量(或通量)可以从以下关系中得到:
J = [(Ψ**∇Ψ)−Ψ(∇Ψ)] ()
2µi
势场V(r)对入射平面波的散射,形成了球面出射波。用通过Ω方向上单位面积dΩ的散射
通量来定义角微分截面dσ/dΩ≡σ(θ),其中散射角θ为入射和散射方向的夹角。
2
入射通量为Jin = v|b| ,其中v =
k/μ为等效粒子的速率。对于单位球在方向Ω的单位面
积 dΩ上每秒钟散射的粒子数,我们有:
2
Jdsc iΩΩ=v|(fθ)|dΩ()
这样,对于在Ω角度的d Ω面积内所发生散射的微分截面为:
J iΩ
σ()θθ==sc |f ()|2 ()
Jin
这就是反应截面与散射幅度的基本关系式。它与经典力学中的势散射分析是类似的。
分波(Partial Waves)方法
为了从薛定谔方程中计算 f (θ),我们注意到这不是一个时间相关的问题,我们能够在空间
和时间上寻找单独的解: Ψ=(,rt) ψ(r)τ(t),其中τ()te= −itE /
。薛定谔方程能够按照以下形
式求解:
2
⎛⎞
2
⎜−∇+Vr()⎟ψ()r=Eψ(r) ()
⎝⎠2µ
通过中心势场的双体