文档介绍：均匀试验设计的理论_方法和应用_历史回顾
均匀试验设计的理论、方法和应用———历史回顾文章编号:1002 — 1566 ( 2004) 03 — 0069 — 12
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均匀试验设计的理论、方法和应用———历史回顾
方开泰
( 香港浸会大学,数学系)
摘要: 本文回顾计算机仿真试验设计的主要两种方法: 拉丁超立体抽样和均匀设计,在过去二十五年的发展,特别是均匀设计的发展,包括均匀设计的优良性研究、新的均匀性测度、均匀设计表的构造,以及均匀性在因子设计中的应用。关键词: 均匀设计; 拉丁超立体抽样; 因子设计; 正交性; 均匀性中图分类号:O212 文献标识码:A
一、历史回顾廿世纪七十年代,在系统工程、高科技发展的推动下,计算机仿真( 仿真) 试验( computer experi2 ments ) 的需求十分强烈,迫切要求高质量的试验设计。于是计算机仿真试验设计(Design put2 er experimtnts) 在那时成为一个最有挑战的课题。在北美洲, 三位学者(Mc Kay ,M. D. ,Beckman ,R. ( J . and Conover , . ( 1979) ) 在 Technometrics ”“提出了“拉丁超立方体抽样”Latin Hypercube Sam2 pling) ( 简称 L HS) 的方法,并立即得到广泛的应用,一批学者对其理论和方法作了系统地研究和发安排试验,不带有随机性。(B ) 两种方法的最初理论均来自( “总均值模型”Overall Mean Model ) L HS 希望试验点对输出变量的总均值提供一个无偏估值,且方差较小,而 UD 是希望试验点能给出输出变量总均值离实际总均值的偏差最小。( C) 两种设计均基于 U2型设计。(D ) 两种设计能应用于多种多样的模型,且对模型的变化有稳健性。二、总均值模型设输入变量 x 1 , …, xs 与输出变量有一个确定性的关系
y = f ( x 1 , …, xs ) , x = ( x 1 , …, xs ) ∈ Cs . ( 2 . 1) ( 2 . 2)
展,形成了一个独立的分枝。差不多在同一时间, 在中国, 方开泰和王元院士提出了“均匀设计”(Uniform Design) ( 简称 UD ) 。文章最初在 1978 年发表在中国科学院数学研究所的内部通讯, 后来中、英文稿分别发表在《应用数学学报》《科学通报》和。那时,中国正处于文化大革命刚结束,百废待兴的时代,学术上与世界几乎隔绝。有趣的是,L HS 和 UD 有异曲同工之处。表现于: (A ) 两种方法均将试验点均匀地散布于输入参数空间, 故在文献中广泛使用术语“充满空间的( 设计”space filling design) L HS
给出的试验点带有随机性,故称为抽样; 而 UD 是通过均匀设计表来
经过了廿多年的发展,两种不同思路的方法是分道扬镳,还是相互补充,相互融合呢? 本文想作一些回顾和讨论。为此,我们需要介绍两种方法的思路、、模型方法和应用。
这里假定试验区域为单位立方体 Cs = [ 0 , 1 ] s ,变量 y 在 Cs 上的总均值为 E ( y ) = Csf ( x 1 , …, x s ) dx 1 , …, dx s
中文核心期刊数理统计与管理卷 3 期 23 2004 年 5 月 70 若在 Cs 上取了 n 个试验点, x 1 , …, x n , y 在这 n 个试验点上的均值为
y ( D n) =
1
n
n
i =1
f ∑(x ) ,
i
( 2 . 3)
此处 D n = { x 1 , …, x n } 代表这 n 个点的一个设计。 LSH 方法是用抽样的方法来选取 D n 使相应的估计 y ( D n ) 是无偏的, 即 E ( y ( D n ) ) = E ( y ) , 且方差 Var ( y ( D n ) ) 尽可能地小。Mc Kay ,Beckman and Conover ( 1979 ) 指出 LSH 比简单随机抽样要好, 即前者所获得的总均值比后者有较小的方差。若设计点集 D random 中的点 x 1 , …, x n 独立同分布, 遵从 Cs 上的均匀分布, 相应样本均值 y ( D random ) 是 E ( y ) 的无偏估计, 其方差为 Var ( f ( x ) ) / n , 其中 x 在 Cs 上均匀分布。如果试验点同分布, 但相互之间有相关性, 得 Var ( DL HS ) = Var ( f ( x ) ) / n + ( n - 1) Cov ( f ( x 1) , f ( x 2) ) / n ,
( 2 . 4)