文档介绍：布朗运动理论一百年
, 把流体力学方法和扩散理论结合起来, 建议了测量分子尺寸和阿伏伽德罗常数的新办法. 这样的研究同布朗运动发生关
编者说明: 本文原是郝柏林院士在 2005 年第 263 次香山科学会议上所作的一篇综述报告, 曾发表在香山科学会议主编的科学前沿与未来第十集第 1 17 页( 此书于 2006 年由北京的中国环境科学出版社出版) . 在这篇文章中, 作者概括总结了由爱因斯坦、斯莫卢霍夫斯基( M . Smolu chow ski ) 等人在 20 世纪初开始的布朗运动理论百年来的进展和面临的新问题, 文中特别提到中国学者所起的作用. 由于上述文集发行量有限, 广大读者不易读到, 我们特征得作者同意, 在本刊转载发表, 以飨读者.
年的哲学杂志上发表了两篇文章, 描述自己在 1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动. 他最初曾经以为是看到了生命运动, 但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在, 因而不是生命现象所致. 布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着活性分子( act ive mole cules) , 而与所处的液体没有关系. 事实上, 布朗并不是观察到这类运动的第一人.
物理 40 卷( 2011 年) 1 期
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评述系是很自然的. 然而, 他在 1905年 5 月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动. 这篇题为热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动的文章, 一开始就说: 可能, 这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动; 可是, 关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确, 以致在这个问题上我无法形成判断. 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论, 并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向. 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数 D 的推导, 直接从熟知的( 一维) 扩散方程出发:
2
表现为对历史的某种记忆. 可以通过考察 x n 2 同 n 的关系, 来判断所研究的过程偏离完全随机的程度. 如果走过的点都不许再碰, 称为自回避行走( 英文缩写是 SAW) . 这是对溶液中高分子链的很好描述. 一种二维的、只是第一步不许返回的无规行走问题, 导致统计物理学中著名的二维伊辛( Ising ) 模型的严格解, 但相应的三维推广只给出了一个封闭的高温近似解. 试问平面中 n 步正向 SAW 有多少种? 这个种类数 m 是没有封闭解但存在具体答案的计数问题的实例( 见表 1) .
表1 n m 1 1 2 2 正向 n 步自回避行走的种类数 m 3 5 4 12 5 30 6 73 7 183 8 9
[ 1]
t 扩散方程的解是:
= D
x
2
.
456 1151
假定在 t= 0 时刻粒子位于 x = 0 处, 即( x , 0) = ( x ), 这是整数序列全书 1 e ( x , t) = 4 Dt
2
x2 4Dt
[ 2]
中的第A046170 号序
,
列. 我们再看一个无规行走的现代应用: DNA 行走. 对很长的由 4 个字母组成的 DNA 序列, 令 A, C, G, T 对应上下左右 4 个方向. 从 2 维格子的原点和序列的最左端出发, 每见到一个字母移动一格. 这不是随机行走, 因为每个序列对应一个特定的实现, 不能随机重复和取平均值, 然而可以随着 n 增加, 问行走 n 步之后, 到原点的距离 r n 的平均值和平方平均值如何随 n 变化? 自然, r n = 0, 但 r n 2 n 中的指数是大于、小于还是等于 1/ 2? t 的小段, 令 1992 年发表在英国自然杂志上的一篇文章考察了一维的 DNA 行走, 即只区分两个左右方向: 遇嘌呤( A 或 G) 向左一步、遇嘧啶( C 或 T ) 向右一步. 他们的结论是> 1/ 2, 而且编码段比非编码段更随机. 这篇文章引起了几百篇后继论文, 正反参半.
[3]
即粒子的密度遵从高斯分布. 对于固定的时刻 t , x 和 x 的平均值分别是: x = 0, x 2 = 2Dt 于是得到扩散长度的公式 x = 2Dt , 这里出现了著名的爱因斯坦的 1/ 2 指数.
2
.
3
无规行走问题
如果把时间离散化为步长
t= n t, 同时保持
t 适当大, 使得每小段时间头尾
的运动彼此无关, 于是行走 n 步的结果 x n 就是 n 个独立随机变量之和. 自然, x n = 0, x n 2 xn 随机运动的理论中. 离散的无规行走问题本身早已经发展成一个活跃的研究领域. 最简单的等步长的无规行走问题, 除了 x n = 0 和 x n2 n 以外,