文档介绍：第五章非线性规划
第一节非线性规划的数学模型和基本概念
第二节单变量函数的寻优方法
第三节无约束条件下的多变量函数的寻优方法
第四节约束条件下多变量函数的寻优方法
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如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题。非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的适用范围。
当m=0,l=0时,称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。否则,称为约束非线性规划或者约束最优化问题。
第一节非线性规划数学模型基本概念
一、非线性规划的数学模型
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解:设投资决策变量为
第一节非线性规划数学模型基本概念
例题
例1 某企业有n 个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A 元,投资于第n 个项目需花资金 ai 元,并预计可收益 bi 元。试选择最佳投资方案。
目标函数: 约束条件:
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例2 构件容积问题
第一节非线性规划数学模型基本概念
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第一节非线性规划数学模型基本概念
二、非线性规划的基本概念
1、局部极值和全局极值
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第一节非线性规划数学模型基本概念
2、梯度
3、海赛矩阵
函数在某点的梯度,垂直于过该点的等值面的切平面。
梯度方向是函数值增加最快的方向。
满足梯度的点称为驻点。
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方阵A′的行列式用detA′表示,其各阶主子式为Ai′,则
设有实对称矩阵
4、正定矩阵、负定矩阵、半定矩阵、不定矩阵
第一节非线性规划数学模型基本概念
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名称
定义
充分必要条件
正定矩阵
特征值都大于0 的实对称矩阵
所有各阶主子式都大于0
半正定矩阵
特征值都不小于0 的实对称矩阵
detA′=0,A′≥0
负定矩阵
特征值都小于0 的实对称矩阵
Ai′<0,i为奇数
Ai′>0,i为偶数
半负定矩阵
特征值都不大于0 的实对称矩阵
Ai′≤0,i为奇数
Ai′≥0,i为偶数
不定矩阵
特征值既有大于0又有小于0 的实对称矩阵
有两个奇数阶主子式,其中一个为正,另一个为负。
4、正定矩阵、负定矩阵、半定矩阵、不定矩阵
第一节非线性规划数学模型基本概念
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5、凸函数
定义设有定义在n维欧氏空间En中某个凸集R上的函数,若对任意实数α,以及R中的任意两点,恒有
定理设R为n维欧氏空间En上的开凸集,在R上具有一阶连续偏导数,则为R上的凸函数的充要条件是,对任意两个不同点,恒有:
其中是函数在X(1)处的一阶导数或梯度。
,
定理设R为n维欧氏空间En上的开凸集,在R上具有二阶连续偏导数,则为R上的凸函数的充要条件是:函数的Hesse矩阵在R上是半正定的。
则函数为定义在R上的凸函数。
第一节非线性规划数学模型基本概念
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定理:设函数在点处可微,若该点为局部极小点,则梯度=0。
定理:设函数在点二次可微,若该点为局部极小点,则梯度=0,且海赛矩阵是半正定的。
定理:设函数在点处二次可微,若该点为局部极小点,则梯度=0,且海赛矩阵是正定的,则该点为局部极小点。
定理:设函数是欧氏空间的可微凸函数,则该点为全局极小点的充要条件是梯度=0
一、无约束问题的极值条件
第二节无约束问题极值条件下降迭代法
1、用海赛矩阵判断驻点的性质
若海赛矩阵是正定的,则驻点是极小点;
若海赛矩阵是负定的,则驻点是极大点;
若海赛矩阵是不定的,则驻点不是极值点;
若海赛矩阵是半定的,须视高阶导数的性质而定。
2、极值点的必要条件和充分条件
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