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高考数学解题方法:把握常规思维方式
方程式←→函数化
方程问题函数化,函数问题方程化,这两化把方程的思想,函数思想融为一体,相互转化,
使“利用函数性质解题”这个数学的大课题生辉,诸如不等←→函数增、减等一系列的简单思
维模式到处可用。
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)求极值方法之一是判别式法(函数问题方程化)∵方程 ax2+bx+
(c-y)=0 有实根,∴△=b2-4a(c-y)≥0
4ay≥4ac-b2 a>0 时 y≥■即
y 小=■;a<0 时,y≤■
即 y 大=■
例 A、B 是△ABC 的两个内角,且 tanA、tanB 是方程 x2+mx+m+1=0 的两个实根,
求实数 m 的取值范围。
韦达定理,和积关系→常见转化方式
■
∴A+B=45°→x1=tanA<1,x2=tanB<1
且都大于 0。
难点如何定 m 的范围:函数化。
f(x)=x2+mx+m+1 有二正根且都在(0,1)之间的条件:(△≥0 不能保证根的范围)
对照图象:
■
(为什么不必△≥0?你能很清晰吗?)
解得:-1
这是典型的方程问题函数化,确定参数取值范围的试题。
例 3.(2008 上海理 11)方程 x2+■x-1=0 的解可视为函数 y=x+■的图像与函数 y=■的图像交
点的横坐标,若 x4+ax-4=0 的各个实根 x1,x2,…,xk(k≤4),所对应的点(x1,■)(i=1,
2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是_________。
答案:(-∞,-6)∪(6,+∞)
●解法 1:依题意 x4+ax-4=0←→x3+a=■由图示及奇函数 y=x3 的图像关于原点对称的性质,
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得知当 y=x3+a 的图像从过 B 点起,向下平移或向上平移时,交点均在 y=x 同侧。
∵A(-2,2),B(2,2),∴把 A、B 坐标代入 y=x3+a 得 a=-6 或