文档介绍：长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练
对合矩阵
系(部): 信息与计算科学
专业: 数学与应用数学
学号: 2009031121
学生姓名: 陈付平
成绩:
2012 年6 月
对合矩阵
陈付平
长沙学院信息与计算科学系, 湖南长沙, 410022
摘要:对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义
关键词:对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换
引言:
对合矩阵是举阵中的一类矩阵,它在代数数学中有着广泛的应用,本文通过对对合矩阵的介绍,了解对合矩阵的判断以及对合矩阵的几何意义。
1 对合矩阵的定义:
矩阵满足条件,则称是对合矩阵。
2 对合矩阵的判断
设为矩阵,则下列条件都是为对合矩阵的充要条件:
(1)。
(2)为对合矩阵。
(3)为对合矩阵。
(4) ([1] P208 3)
(5)矩阵相似于形如的方阵。
(注:此处[K]K=1,2,,见参考文献)
下面我们分别对上述几个命题进行证明:
证明(1):由对合矩阵的定义,显然成立。
证明(2): 为对合矩阵为对合矩阵。
证明(3): 为对合矩阵,即。
则
(由(1))
即为对合矩阵。
为对合矩阵,即(*)
得有
(*)式两端同时式乘以,右乘以,得
即
为对合矩阵。
证明(4):考察矩阵(*)
对(*)式作分块矩阵的初等变换
由初等变换不改变矩阵的秩
有
即
所以即
在证明命题(5)之前,先证明几个命题:
命题1、矩阵的特征值等于(考虑它们的重数)矩阵的特征值的平方。
([3] P182 1126)
证明:设的所以特征值为
可知
则证毕。
命题2、若为对合矩阵,则的特征值为+1或—1
.([2] P216 7(2))
证明:设是的一个特征值
则是的一个特征值
有, 因而
反之的特征值为+1或-1 不能推出A为对合矩阵
反例:
的特征多项式为
则的特征值为1(2重)
但
同理,有的特征值为-1(2重),但
的特征值为-1(2重), 但
命题3、若矩阵适合,则必可对角化。([2] P221 10(1)))
证明:,则的特征值为+1或-1。
它们相应的特征子空间为。
考察齐次线性方程组,
它们的解空间分别为。
则
由(4)
知
特征子空间的非零向量均为特征向量,
知有n个线性无关的特征向量。
则可对角化。
另证:,则
令
的最小多项式
有
进而的初等因子都是一次的,
说明可对角化。
由以上两个命题,可得,任一对合矩阵必相似于形如的方阵证明(5):已证。
矩阵相似于
即可逆矩阵,使得
则
为对合矩阵。
命题4、设,都是对合矩阵,则积是对合矩阵的充件条件是与可交换。([4] P508 508)
证明:设是对合矩阵
即有
两端左乘以,右乘,由,
得
等式两端同时乘以,
即为对合矩阵。
命题5、与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵。
证明:对合矩阵,设矩阵与相似,
即可逆矩阵,使得
则即为对合矩阵。
命题6:如果是幂等矩阵(),则是对合矩阵。
证明:是幂等矩阵,即。
则
即为对合矩阵。
命题7、