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第1课时两个三角形相似的判定(一)
-4-1,AB∥CD,AC与BD相交于点O,则下列比例式中,正确的是( C )
A.= B.=
C.= D.=
【解析】∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴△AOB∽△COD,∴=.故选C.

图4-4-1 图4-4-2
-4-2,已知AB∥CD,AD与BC相交于点P,AB=4,CD=7,AD=10,则AP的长为( A )
A. B.
C. D.
【解析】∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,
∴△ABP∽△DCP,∴=,即=,
∴AP=.故选A.
3.[2016·盐城]如图4-4-3,点F在▱ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有( C )

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥DC,
∴△AEF∽△BCF,△AEF∽△DEC,
∴与△.

图4-4-3 图4-4-4
-4-4,在▱ABCD中,E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC=( D )
∶2 ∶1
∶1 ∶2
【解析】∵AD∥BC,
∴∠CED=∠ECB,∠BDE=∠DBC,
∴△DEF∽△BCF,
∴=.
∵E是边AD的中点,
∴AE=DE=AD=BC,
∴=.故选D.
5.[2016·安徽]如图4-4-5,在△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为( B )
图4-4-5

【解析】∵BC=8,∴CD=4,
在△CBA和△CAD中,∠B=∠DAC,∠C=∠C,
∴△CBA∽△CAD,∴=,
∴AC2=DC·BC=4×8=32,∴AC=±4,
∵AC>0,∴AC=.
6.[2016·丹东模拟]如图4-4-6,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线,图中与△ADC相似的三角形为__△ACB或△CDB__(填一个即可).

图4-4-6 图4-4-7
7.[2016·娄底]如图4-4-7,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是__AB∥DE(答案不唯一,合理即可)__(只需写一个条件,不添加辅助线和字母).
【解析】∵∠A=∠D,
∴当∠B=∠DEF时,△ABC∽△DEF,
∵当AB∥DE时,∠B=∠DEF,
∴添加AB∥DE时,△ABC∽△DEF.
-4-8,在△ABC中,AB=2,AC=4,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C,使CB′∥AB,分别延长AB,CA′相交于点D,则线段BD的长为__6__.
图4-4-8
【解析】∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C,
∴AC=A′C=4,AB=A′B′=2,∠A=∠CA′B′.
∵CB′∥AB,∴∠B′CA′=∠D,
∴△CAD∽△B′A′C,
∴=,即=,解得AD=8,
∴BD=AD-AB=8-2=6.
-4-9,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,AD=3,AB=5,求的值.
图4-4-9
解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,则△ADE∽△ABC,∴==.
-4-10,在△ABC与△ADE中,∠C=∠E,∠1=∠2.
图4-4-10
(1)证明:△ABC∽△ADE;
(2)请你再添加一个条件,使△ABC≌△=AD(答案不唯一)__.
解:(1)证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=∠E,
∴△ABC∽△ADE.
11.[2017·株洲]如图4-4-11,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,:
(1)△DAE≌△DCF;
(2)△ABG∽△CFG.

图4-4-11 第11题答图
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,△EDF是等腰直角三角形,
∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE=DF,
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,
∴∠ADE=∠CDF,
在△DAE和△DCF中,
∴△DAE≌△DCF(SAS);
(2)如答图,延长BA,交ED于点M,
∵△ADE≌△CDF,
∴∠EAD=∠FCD,
即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF,
∵∠MAD=∠BCD=90°,
∴∠EAM=∠BCF,
∵∠