6.4高等代数.ppt

文档介绍：广义逆矩阵与线性方程的求解
一. 线性方程组的相容性,通解与广义{1}-逆
设,则
矩阵方程 AXB=D 相容
其中当方程相容时,其
通解为
其中任意.
证必要性. 设 X0是方程解,则
于是有
即
充分性. 由得方程有解.
因为
所以是方程解.
又如果 X0 是方程任意解,则
所以是方程的
通解. 证毕
推论设则
证 AXA=A 的通解为
令 Y=A(1)+Z 即得. 证毕
线性方程组 Ax=b 相容
AA(1)b=b 且其通解为
其中 任意.
注: 是 Ax=O 的通解.
例 设,若
对于使得方程 Ax=b 相容的所有 b ,x=Xb
都是解,则 XA{1}
证设 aj为 A 的第 j 列,则方程组相容.
由于 x=Xaj 是方程组的解,即
从而 AXA=A 证毕
二. 相容线性方程组的极小范数解与广义
{1,4}-逆
引理6 相容方程组 Ax=b 的极小范数解
唯一,且这个唯一解在 R(AH)中.
证设 Ax=b 的极小范数解为 x0 .
若,则由
知
于是
而
这与 x0 是 Ax=b 的极小范数解矛盾.
唯一性. 若还有 y0R(AH) 且 Ay0=b,
则
即
故
即 x0=y0 证毕
引理 7 集合 A{1,4} 由矩阵方程
的所有解组成,其中
证若 X 满足方程,则
所以
若 XA{1,4} ,则有
证毕
设 ACmn , A(1,4)A{1,4} ,则
证方程的通解为
令 Y=A(1,4)+Z ,即得式
设方程组 Ax=b 相容,则
是极小范数解,其中 A(1,4)A{1,4} . 反之,设
m ,若对所有 bR(A), x=Xb 是方程
组 Ax=b 的极小范数解,则 XA{1,4}.
证若 Ax=b相容,则 bR(A) .由
知,对任意都是解,
由 bR(A) 推得,存在 使得 b=Au, 所以
所以 x=A(1,4)b 是方程 Ax=b 的极小范数解.
反之,若对所有 bR(A) , x=Xb 都是