高斯公式通量与散度 PPT课件.ppt

文档介绍：一、高斯公式
二、通量与散度
高斯公式通量与散度
一、高斯公式
定理1
设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数
P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数
则有
这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在点
(x y z)处的法向量的方向余弦
解:
例1利用高斯公式计算曲面积分
其中为平面x0 y0 z0 xa ya za所围成的立体的表面
的外侧。
由高斯公式
原式
(这里用了对称性)
>>>
设1为zh(x2y2h2)的上侧为与1所围成的空间闭区域则
解
为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧 cos、cos、cos是上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦
说明:
例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数是的整个边界曲面 n是的外法线方向证明
设与n同向的单位向量为(cos cos cos)则
证
将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.
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例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数是的整个边界曲面 n是的外法线方向证明
散度
设某向量场由A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k 给出其中P Q R具有一阶连续偏导数则称
为向量场A的散度记作divA即
通量
向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k的散度
设是场内的一片有向曲面 n是上点(x y z)处的单位法向量则称
为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)
散度