文档介绍：0346《初等数论》
概念解释题
一、解释下列概念
1. 叙述整数b被整数a整除的概念。
2. 叙述合数的概念,并判断21是否为合数。
3. 80530是否是5的倍数,为什么?
4. 叙述质数的概念,并写出小于18的所有质数。
5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。
6. 2358是否是3的倍数,为什么?
二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。
三、给出有关同余的一条性质并加以证明。
四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。
概念解释题答案
一、解释下列概念
1. 叙述整数b被整数a整除的概念。
答:若存在整数q使得b=aq,则称整数b被整数a整除。
2. 叙述合数的概念,并判断21是否为合数。
答:一个大于1的整数,如果它的正因数除了1和它本身外,还有其它正因
数,就叫作合数。
21是合数,因为除了1和21外还有3,7是它的正因数。
3. 80530是否是5的倍数,为什么?
答:80530是5的倍数。
因为一个整数能被5整除的充要条件是它的个位数为5或0。
4. 叙述质数的概念,并写出小于18的所有质数。
答:一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫作质数。
小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13,17。
5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。
答:0,1,2,…,m-1称为m的最小非负完全剩余系。
6. 2358是否是3的倍数,为什么?
答:2358是3的倍数。
因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数,而2+3+5+8=18,18是3的倍数,所以2358是3的倍数。
二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。
解: 结论:二元一次不定方程ax + by = c有整数解的充要条件是。
证明如下:若ax + by = c有整数解,设为,则
但,,因而,必要性得证。
反之,若,则,为整数。由最大公因数的性质,存在两个整数s,t满足下列等式
于是。
令,则,故为ax + by = c的整数解,从而ax + by = c有整数解。
三、给出有关同余的一条性质并加以证明。
答:同余的一条性质:整数a,b对模m同余的充要条件是m|a-b,即a=b+mt ,t是整数。
证明如下: 设,,,。若a≡b(mod m),则,因此,即m|a-b。
反之,若m|a-b,则,因此,但,故,即a≡b
(mod m)。
四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。
答:若a,b是两个整数,其中b>0,则存在两个整数q及r,使得
a=bq+r,
成立,而且q及r是唯一的。
下面给出证明:
证作整数序列
…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,…
则a必在上述序列的某两项之间,及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。令a-qb=r,则r为整数,且a=qb+r,而。
设是满足(2)的另两个整数,则
,
所以,于是,故。由于r,都是小于b的正整数或零,故。如果,则,这是一个矛盾。因此,从而。
填空题
。
。
。
4.{}= 。
5.[] +[-] = 。