文档介绍：§ 特征函数
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§ 大数定律
第5章大数定律与中心极限定律
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§ 特征函数
特征函数的定义
设ξ为实随机变量,称
()
为ξ的特征函数(Characteristic function),这里是任意实数.
由于, 因此对任意,对一切总存在,即()式都有意义,也就是说任意随机变量的特征函数总存在.
特别地,若为离散型, ,则其特征函数为
()
若是连续型,其密度,则
()
它就是函数的傅里叶变换.
特征函数的性质
若其中是常数,则有
设独立,则有
即:独立随机变量和的特征函数为特征函数的乘积.
若存在,则的特征函数存在阶导数,且对于任意的,有
也就是说在上述条件下, 的阶矩可以通过特征函数在0处的阶导数表示出来.
常见分布的特征函数
(1) 单点分布: 的特征函数.
(2) 分布: 的特征函数为
(3) 泊松分布: 的特征函数为
(4)均匀分布的特征函数为
(5)标准正态分布的特征函数为
证明从略.
(6)指数分布的特征函数为
证明:
(7)二项分布的特征函数为:
证明:设,则由前一章知: ,其中相互
独立,且都服从分布.
由本例(4)可知: ,于是有
(8)正态分布的特征函数为
证明:设则有. 则由()知
注意到,利用()即可得证.
试用特征函数的方法求正态分布的期望与方差.
解:因为正态分布的特征函数及其一、二阶导数为
于是由()知
从而有