文档介绍：实数的完备性
1 实数连续性的等价描述
{Jn}的上、下确界:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
,求证:
(1)
(2)
,且,试证自中可选取数列且互不相同,使;又若,则情形如何?
,趋于的数列必有下确界,趋于的数列必有上确界.
:
(1)有上确界无下确界的数列;
(2)含有上确界但不含有下确界的数列;
(3)既含有上确界又含有下确界的数列;
(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界都有限.
2 实数闭区间的紧致性
.
.
.
:若将闭区间列改为开区间列,结果怎样?若将条件去掉或将条件去掉,结果怎样?试举例说明.
,且非无穷大量,则必存在两个子列(为有限数).
,则必存在两个子列.
:数列有界的充要条件是,的任何子数列都有收敛的子数列.
,且在每一点处函数的极限存在,求证:在上有界.
,求证:存在,对任给,函数在上无界.
,且有上界,求证:存在.
,定义
求证:任意的点只有有限多个.
,对任意,
在上只有有限个根或无根,求证:存在.
3 实数的完备性
1,设在连续,求证:在一致连续的充要条件是
与都存在,
.
:
(1)
(2)
(3)
:对任意给定,存在,当
时,恒有
:任给,存在,当时,恒有

:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
,单调下降,且存在,求证.
,且,任给,令
求证,
(1) 存在;
(2) 上述极限为的根,且是唯一的.
:
(1)
(2) 的值域包含在内.
则对任意,令,有
(1) 存在;
(2)方程的解在上是唯一的,这个解就是上述极限值.
4 再论闭区间上连续函数的性质
,并且最大值点是唯一的,又设,使,求证
,可微,又设
(1)
(2) 如果,则有,
求证:的根只有有限多个.
,,,求证:存在,使,且.
,其最大值和最小值分别为和,求证:必存在区间,满足条件:
(1)或;
(2) ,当.
,且,求证:存在,使.
,且取值为整数,求证:常数.
,,证明在上有界;
(Lipschi