文档介绍：第三节实对称矩阵与相似对角阵
实对称方阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的正交相似对角化.
问题与思考
第六章特征值、特征向量及相似矩阵
【 】
(1) 实对称矩阵的特征值一定为实数;
(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的
特征向量必相互正交;
设、是实对称矩阵的两个特征值,
证明
是对应的特征向量,
则
=
=
因A对称,
故
=
=
=
=
且
一、实对称矩阵的特征值与特征向量
于是
即
故
即与正交.
证毕
故
=
=
=
=
(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的
特征向量必相互正交;
此定理不予证明
(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的
特征向量必相互正交;
(1) 实对称矩阵的特征值一定为实数;
【 】
1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足ATA= E, AAT= E则称 A为正交矩阵.
A的行(列)向量组都是单位向量且两两正交.
二、实对称矩阵的正交相似对角化
复****br/>2. 正交矩阵的性质
(1) 将线性无关的向量组1,2,…,r正交化.
令1=1,
2 =2- 1 ,
3 =3- 1 - 2,
…………………,
r =r- 1 - 2 - …- r-1.
(2) 将1,2,…,r单位化,令
1= ,2= ,…, r= .
2、将线性无关的向量组1,2,…,r化为一组两两正交的单位向量组的方法。施密特(Schmidt) 方法(108页)
【 】
设A为 n 阶实对称矩阵,
n 阶正交矩阵P,
则必存在
使得
其中是A的 n个特征值.
【证】
设A的所有互不相等的特征值为
它们的重数依次是
想?它们的和等于多少?
由对称矩阵的特征值的性质可知
对应于特征值
恰有个线性无关的特征向量,
把它们标准正交化
即得个标准正交的特征向量.
由
知这样的特征向量共可得 n 个..
(2)知
这 n 个单位特征向量两两正交,
于是以它们为列向量
构成正交矩阵 P,
得
证毕
【 】
设A为 n 阶实对称矩阵,
n 阶正交矩阵P,
则必存在
使得
其中是A的 n个特征值.
有此可见,实对称矩阵A一定可以对角化,与之相似的对角阵的对角元素就是A的特征值,而正交矩阵P是其对应的两两正交的单位特征向量所组成。
下面, 给出求正交矩阵P 的步骤
1、求实对称矩阵A的全部特征值,即求解特征方程
的全部根;
2、将每一个特征值分别代入
求出基础解系;将基础解系正交单位化
3、作正交矩阵P
4、
事实上,做完这一步,就已经求出A的相似对角阵.