文档介绍：泛函分析
距离空间定义
􀁺设X是非空集合,对于X中的任意两元素x与y,按某一法则都对应唯一的实数ρ(x, y),并满足以下三条公理:
:ρ(x, y) ≥0,ρ(x, y) =0当且仅当x=y;
:ρ(x, y) =ρ(y, x);
;对任意的x, y, z
ρ(x, y) ≤ρ(x, z) + ρ(z, y),
则称ρ(x, y)为x与y间的距离(或度量),并称X是
以ρ为距离的距离空间(或度量空间),记为(X, ρ).
距离空间的例--欧氏空间
实数集的通常意义的欧氏距离为
n维欧氏空间的通常意义的欧氏距离为
实数集的另一距离
实数集上还有另一距离为
但约定:在提到实数集上的距离时,仅指通常
的欧氏距离.
作业1: 证明是距离空间.
距离空间的例—C[a,b]
C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数
的集合,约定C[a,b]上的距离仅指
距离空间的例— Lp[a,b]空间
对于任实数 Lp[a,b]表示区间[a,b]上
绝对值的p次幂L可积函数的全体,并把几乎
处处相等的函数看成是同一个函数,即
Lp[a,b]上的距离为
其特例为L[a,b] , L2[a,b].
距离空间的例—
表示满足
的实数列(即平方可和数列) 的全体, 上
的距离定义为
作业2: 证明:若
则
作业3: 证明:若
则
为距离空间吗?
为什么不考虑
距离空间的邻域概念
在距离空间X中,集合
称为点
在集合X中引入距离后,即引入了拓扑
结构,可以开展极限,连续等概念的研究.
拓扑学即研究一般点集上的极限,连续
等概念,在其上可以没有距离概念,只需给
定邻域系,或开集系,或闭集系即可.