文档介绍：§4 最大公因式
§5 因式分解
§6 重因式
§10 多元多项式
§11 对称多项式
§3 整除的概念
§2 一元多项式
§1 数域
§7 多项式函数
§9 有理系数多项式
§8 复、实系数多项式
的因式分解
第一章多项式
一、多项式函数与根
二、多项式函数的有关性质
§ 多项式函数
一、多项式函数与根
1. 多项式函数
设
数
将的表示式里的用代替,得到P中的数
称为当时的值,记作
这样,对P中的每一个数,由多项式确定P
中唯一的一个数与之对应,于是称为P上
的一个多项式函数.
若多项式函数在处的值为0,即
则称为的一个根或零点.
2. 多项式函数的根(或零点)
易知,若
则,
(余数定理):用一次多项式去除多项式
所得余式是一个常数,这个常数等于函数
值
二、多项式函数的有关性质
1. 定理7
是的根
推论:
例1 求在处的函数值.
法一:
把代入求
用去除所得余数就是
法二:
答案:
若是的重因式, 则称为
的重根.
当时,称为的单根.
当时,称为的重根.
2. 多项式函数的k重根
定义
注:
①是的重根是的重因式.
②有重根必有重因式.
反之不然,即有重因式未必有重根.
例如,
为的重因式,但在R上没有根.
3. 定理8 (根的个数定理)
任一中的次多项式在中的根
不可能多于个,重根按重数计算.
4. 定理9
且
若有使
则
证:设
若即
时,由因式分解及唯一性定理,
可分解成不可约多项式的乘积,
由推论, 的根的个数等于分解式中
一次因式的个数,重根按重数计算,且此数
此时对有
即有0个根.
定理8