试题剖析：二面角·典型例题分析.doc

文档介绍：试题剖析:二面角·典型例题分析
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例1如图1-125,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.





分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解∵ PC⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E,连BE,据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.
设PC=a,依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形,∴ D是





∵PC = CA=a,∠PCA=90°,∴∠PAC=45°∴在Rt△DEA















评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.
例2 在60°二面角M-a-N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为1和2,求点P到直线a的距离.(图1-126)





分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离,过PA、PB作平面α,分别交M、N于AQ、BQ.





同理,有PB⊥a,
∵ PA∩PB=P,
∴ a⊥面PAQB于Q
又 AQ、BQ





















平面PAQB
∴ AQ⊥a,BQ⊥a.
∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角.
∴∠AQB=60°
连PQ,则PQ是P到a的距离,在平面图形PAQB中,有
∠PAQ=∠PBQ=90°
∴ P、A、Q、B四点共圆,且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R
在△PAB中,∵ PA=1,PB=2,∠BPA=180°-60°=120°,由余弦定理得
AB2=1+4-2×1×2cos120°=7





由正弦定理:





评注本例题中,通过作二面角的棱的垂面,找到二面角的平面角.
例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a 求(1)二面角B-PC-D的大小;(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.





分析二面角B-PC-D的棱为PC,所以找平面角作棱的垂线,而平面PAB和平面PCD所成二面角;无棱;须找二面角的棱.
解(1)∵ PA⊥平面ABCD,BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂线定理)
在平面PBC内,作BE⊥PC,E为垂足,连结DE,得PC⊥平面BED,从而DE⊥PC,即∠BED是二面角B-PC-D的平面角.
在Rt△PAB中,由PA=AB=a





∵ PA⊥平面ABCD,BC⊥AB
∴ BC⊥PB(三垂线定理)





在Rt△PBC中,





在△BDE中,根据余弦定理,得





∴∠BED=120°
即二面角B-PC-D的大小为120°.
(2)过P作PQ ∥AB,则PQ