文档介绍：空间向量坐标运算
1、理解直线的方向向量与平面的法向量.
2、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平
面的垂直、平行关系.
3、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理
(包括三垂线定理).
4、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平
面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题
中的应用.
从近三年高考试题来看,利用空间向量证明平行或垂直,求空间角是高考的热点内容,题型有选择、填空题,尤以解答题为主,,运算能力要求较高.
考查形式有两种:一种是空间角和距离;另一种是已知空间角的大小,求相关点的位置或相关线段的长.
考纲要求
知识梳理
原点
坐标轴
坐标平面
一、空间直角坐标系及有关概念.
(1)空间直角坐标系:以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、-xyz,,y轴,.
(2)右手直角坐标系的含义是:一般是将x轴和y轴放置在水平面上,,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向________正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为________正向,也称这样的坐标系为右手系.
x轴
z轴
(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x,y,z),记作M(x,y,z),其中x叫做点M的________,y叫做点M的________,z叫做点M的________.
横坐标
纵坐标
竖坐标
(4) 空间两点间的距离公式.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
|AB|=_______________________________________.
1、异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,a′,b′所成的角的大小与点O的选择无关,把a′,b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b所成的角(或夹角).为简便起见,点O通常取在异面直线的一条上.
(2)异面直线所成的角的取值范围: .
(3)求异面直线所成的角的方法:
①几何法; ②向量法.
三、空间中的所成角
2、直线和平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.
特例:当一直线垂直于平面,规定它们所成的角是直角;当一直线平行于平面或在平面内,规定它们所成的角为0°角.
(2)直线和平面所成角的取值范围: .
3、二面角
(1)定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,,两个面分别为α,β的二面角记为α-l-β.
(2)二面角的平面角.
①过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB,则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
②一个平面垂直于二面角α-l-β的棱l,且与两半平面交线分别为OA,OB,O为垂足,则∠AOB就是α-l-β的平面角.
说明:(ⅰ)二面角的平面角范围是[0,π];
(ⅱ)二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直.
(3)二面角大小的求法:①几何法;②向量法.
(4)求二面角的射影公式:cosθ= ,
其中各个符号的含义是:S是二面角的一个面内图形F的面积,S′是图形F在二面角的另一个面内的射影,θ是二面角的平面角大小.
2°如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足:
cosθ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉.