文档介绍：数学第三册(选修I)
导数的背景
早在十七世纪,欧洲资本主义发展初期,由于工场的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹,牛顿是从运动学角度,莱布尼兹是从几何学角度来研究微积分的。可以说,微积分靠解析几何的帮助,成为十七世纪发现的最伟大的数学工具,以后,微积分得到了广泛的应用。例如,在军事上,战争中涉及炮弹的最远射程问题,天文学上,行星与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历法、农业密切相关。
来自于生产生活实际和科学研究的许多问题,常常遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。
学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。
问题:超市货品架上的罐装饮料(圆柱形),当圆柱形罐的容积V一定时,如何选取圆柱的底半径,能使所用材料最省?
已知物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t)(s表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度.
如图设该物体在时刻t0的位置是s(t0)=OA0,在时刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:
在时间段( t0+Dt)- t0 = Dt 内,物体的平均速度为:
问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少?
平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物体在t到 t+Δt这段时间内,当Δt0 时平均速度:
例1:物体作自由落体运动,运动方程为: 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/:
(1) 物体在时间区间[2,]上的平均速度;
(2) 物体在时间区间[2,]上的平均速度;
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
(1)将Δt=,得:
(2)将Δt=,得:
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:
(1)2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值
范围为1;
(2)t=2时刻的瞬时速度.
一、物理意义——瞬时速度
当越来越小的时候, 越来越接近某时刻的瞬时速度
在物理学中,我们学过平均速度
二. 边际成本
问题二:设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为
,我们来研究当q=50时,
产量变化对成本的影响
在本问题中,成本的增量为:
产量变化对成本的影响可用:
来刻划, 越小, 越接近300;
当无限趋近于0时, 无限趋近于300,我们就说
当趋向于0时, 的极限是300.
我们把的极限300叫做当q=50时
的边际成本.