文档介绍：在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法:设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”,此法有着不可忽视的作用,,以供参考.
求弦中点的轨迹方程
例1 已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
例2 直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是.
求曲线方程
例3 已知的三个顶点都在抛物线上,其中,且的重心是抛物线的焦点,求直线的方程.
例4 已知椭圆,有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点,若的中点为,求椭圆方程.
确定参数的范围
例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称,求实数的取值范围.
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证明定值问题
例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦,是的中点,:直线和直线的斜率之积是定值.
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处理存在性问题
例8 已知双曲线,过能否作直线,使与双曲线交于,两点,且是线段的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

点差法练****br/>1、已知双曲线,过点能否作出直线,使与所给双曲线交于,
且点为线段的中点?若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由。
2、已知直线和双曲线交于两点,是否存在实数,使两点关于直线对称?
3、已知椭圆,是椭圆上的两点,线段的垂直平分线与轴相交于点,求证:
4、已知椭圆,直线,如果椭圆上总存在两点关于直线对称,求的取值范围。
(韦达定理)
例1、已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若求的值。
例2、设直线方程为,等轴双曲线的中心在原点,右焦
点坐标为
(1)求双曲线方程;
(2)设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为,求的取值范围,并用表示点的坐标;
(3)在第二小问的条件下,若设点,求直线在轴上截距的取值范围
例3、已知椭圆且短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且(1)求椭圆方程(2)直线过点且与椭圆相交于两点,当面积取得最大值时,求直线方程。
例4、直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且(其中O为原点). 求k的取值范围.