文档介绍：无限的交响乐
──极限的故事
“无限”的诞生
无限的思想诞生于何时何地,如今已难确切查考了。然而古希腊学者欧
几里得(,公元前~前)的名著——《几何原本》第九卷中对
质数无限性的认识十分精彩。
文中全部用几何的方式,表述了一个纯粹数的问题!其中“测量”一词,
即算术中的“除尽”。
“质数比任何给定的一批质数都多。”
“假设,, 是指定的质数;我说除了,, 之外还有其他的质数。
事实上,取,, 所能测量的最小数,设它为;把单位加到上。
于是或者是质数或者不是。首先,假设是质数,那么我们已得到了质
数,,,,它比质数,, 要多。其次假设不是质数,从而它必
能被某个质数所测量。假设它能被质数测量。我说和数,,,都不
相同。因为,如果可能的话,假定和,, 中的某个数相同。那么由于
,, 能测量,所以也能测量。但还能测量。所以作为一个
数,它就能测量余数,也就是单位;而这是荒谬的!所以, 与,,
当中的任何一个数都不相同。并且按照假设, 是质数。所以我们就找到了
质数,,,,它比给定的一批质数,, 更多”。
这个证明可以推广到多个质数的情形,即若,,,,⋯⋯, 为
所有不大于的质数,则
×××××⋯⋯× +
数或者是质数,或者所有的质因子都大于。
在他之前约年,另一位古希腊学者芝诺( ,公元前~前)
曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。从中,我们可以看到当时人类对“无限”
的认识,及理解上的局限。大家知道,乌龟素以动作迟缓著称,阿基里斯则
是古希腊传说中的英雄,善跑的神。芝诺断言:阿基里斯与龟赛跑,将永远
追不上乌龟!
芝诺的理由是:如图所示假定阿基里斯现在处,乌龟现在处。为了
赶上乌龟,阿基里斯先跑到乌龟的出发点,当他到达点时,乌龟已前进
到点;当他到达点时,乌龟又已前进到点,如此等等。当阿基里斯
到达乌龟前次到达过的地方,乌龟已又向前爬动了一段距离。因此,阿基里
斯是永远追不上乌龟的!
芝诺的论断显然与常理相悖。由于当时人类只有粗糙的无限观念,数学
家们曾经错误地认为:无限多个很小的量,其和必为无限大。芝诺正是巧妙
地钻了这个空子:把有限长的线段分成无限多个很小线段的和;把有限的时
间可以完成的运动,分成无限多段很短的时间来完成。芝诺的“追龟”问题,
无疑是向当时错误的“无限”观念提出了挑战。数学家们感到数学面临着潜
在的危机!
后来人们终于弄清楚,要克服上述危机,需要一场观念上的革命。即无
限多个很小的量的和,未必是无限大!“无限”地累加,也可能得出有限的
结果!
让我们再看一看追龟问题。设阿基里斯的速度是乌龟的十倍,龟在前面
洣。当阿基里斯跑了洣时,龟已前进了洣;当阿基里斯再追
洣时,
1
龟又前进了1洣;阿再追1洣;龟又进了洣,⋯⋯。于是:阿基里斯追上
100
乌龟所跑的路程:(单位洣)
1 1
S=100 +10 +1+ + + ⋯⋯
10 100
上式右端是无限多个很小量的和,然而它却是有限的!为了让读者理解
这一点,我们先从等比数列的知识讲起。
一个数列,如果从第二项起每项与前一项的比是个常数,我们把这个数
列叫做等比数列,常数叫这个等比数列的公比,例如
①,,,,,⋯⋯
②,,,,⋯⋯都是等比数列。
现在假定有一等比数列,第一项为,公比为∶
,,,⋯⋯,
怎样去求它的前项和呢?一个颇为巧妙的办法是:把乘以,
然后错位相减,即:
=++ +⋯⋯+
·
(-)=-
a(1- q n )
S =
n 1- q
这样,我们得出了一个很有用的公式。
当等比数列的公比的绝对值小于时,数列的项无穷递缩,越来越趋
近于。此时,虽然项数有无限多个,但它们的和却是个有限的数。事实上,
当<||< 时:
=+++⋯+ +⋯
= lim Sn
n→¥
a(1­ q n )
= lim
n→¥ 1­ q
a
=
1- q
上式中符号“”,“是英语(极限)一词的缩写”。表示“当
趋于无穷时某式的极限”。
应用上述公式可以算得追龟问题中阿基里斯的追及路程:
1 1
S = 100 +10 +1+ + + ⋯⋯
10 102
100 1000
= = (洣)
1 9
1­
10
与古希腊相比,我们的祖先对“无限”的概念可要明确得多。几乎与芝
诺处于同一时代的墨子(公元前~前)就曾提出过“莫不容尺,无穷
也”的见解。这就是说,有这样一种量,用任意长的线段去量它,它