9-4_柱坐标系和球坐标系下的计算法.ppt

文档介绍：三重积分的计算(续)

1. 利用柱坐标系计算
2. 利用球坐标系计算
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练习:用投影法计算
其中由
围成。
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解
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一、在柱坐标系下的计算法
规定:
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圆柱面
半平面
平面
如图,柱面坐标系中的体积元
然后再把它化为三次积分来计算
积分次序一般是先 z 次 r 后
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例2. 计算
其中:x2+y2+z2  1, 且z0.
解: 是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位圆x2+y2 ≦ 1.
令 x=rcos, y=rsin , z=z,
则平面 z = 0 和球面
即0  z 
且0  r  1, 0  2,
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其中由x2+y2=2z及z=2所围成.
例3. 求
解:一般,若的表达式中含有x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分.
令x=rcos, y=rsin, z=z,
且
 z  2, 0  r  2,
0  2.
x
z
y
x2+y2=2z
x2+y2=4 或 r=2
o
2
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注:常用的二次曲面有, 球面, 椭球面, 柱面. a(x2+y2)=z(旋转抛物面), ax2+by2=z(椭圆抛物面), a2(x2+y2)=z2(圆锥面).
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练习
解
将投到 xoy 面得 D:
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时,通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。
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二、在球坐标系下的计算法
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