文档介绍：第3章辅导
控制系统典型的输入信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
式中A为常数。A等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数,如图所示。它表示为
xr(t)=l(t),或xr(t)=u(t)
单位阶跃函数的拉氏变换为
Xr(s)=L[1(t)]=1/s
在t=0处的阶跃信号,相当于一个不变的信号突然加到系统上;对于恒值系统,相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量;对于随动系统,相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数
这种函数的定义是
式中A为常数。该函数的拉氏变换是
Xr(s)=L[At]=A/s2
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号,该恒速度为A。当A=l时,称为单位斜坡函数,如图所示。
3. 抛物线函数
如图所示,这种函数的定义是
式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号,该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是
Xr(s)=L[At2]=2A/s3
当A=1/2时,称为单位抛物线函数,即Xr(s)=1/s3。
4. 脉冲函数
这种函数的定义是
式中A为常数,ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是
当A=1,ε→0时,称为单位脉冲函数δ(t),如图所示。单位脉冲函数的面积等于l,即
在t=t0处的单位脉冲函数用δ(t-t0)来表示,它满足如下条件
幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设,但在系统分析中却很有用处。单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数,即
反之,单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。
控制系统的时域性能指标
对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏,必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
1 动态性能指标
动态性能指标通常有如下几项:
延迟时间阶跃响应第一次达到终值的50%所需的时间。
上升时间阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间;对有振荡的系统,也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。
峰值时间阶跃响应越过稳态值达到第一个峰值所需的时间。
调节时间阶跃响到达并保持在终值%误差带内所需的最短时间;有时也用终值的%误差带来定义调节时间。
超调量% 峰值超出终值的百分比,即
%%
在上述动态性能指标中,工程上最常用的是调节时间(描述“快”),超调量%(描述“匀”)以及峰值时间。
2 稳态性能指标
稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差,是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义,通常在典型输入下进行测定或计算。
一阶系统的阶跃响应
一. 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统,称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如RC网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。
因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s,故输出的拉氏变换式为
取C(s)的拉氏反变换得
或写成
式中,css=1,代表稳态分量;代表暂态分量。当时间t趋于无穷,暂态分量衰减为零。显然,一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始,按指数规律上升并最终趋于1的曲线,如图所示。响应曲线具有非振荡特征,故又称为非周期响应。
一阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统方框图,其闭环传递函数为:
式中
Kv--开环增益;
ωn--无阻尼自然频率或固有频率,;
ζ--阻尼比,。
二阶系统的闭环特征方程为
s2+2ζωns+ω2n=0
其特征根为
1. 临界阻尼(ζ=1)
其时域响应为
上式包含一个衰减指数项。c(t)为一无超调的单调上升曲线,如图3-8b所示。
(a) (b) (c)
ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应
2. 过阻尼(ζ>1)
具有两个不同负实根的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项,其动态过程呈现非周期性,没有超调和振荡。图为其特征根分布图。
3. 欠阻尼(0<ζ<1)
图3-9 0<ζ<1时二阶系统特征根的分布图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应
4. 无阻尼(ζ=0)
其时域响应为
在这种情况下,系统的响应为等幅(不衰减)振荡,
图ζ=0时特征根的分布图ζ=0时二阶系统的阶跃响应
5. 负阻尼(ζ<0)
当ζ<0时,特征根将位于复平面的虚轴之右,其时域响应中的e的指数将是正的时间函数,因而为发散的,系统是不稳定的。
显然,ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的,而在ζ≥1时,系统动态响应的速度又太慢,所以对二阶系统而言,欠阻尼情况是最有实际意义的。下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。