文档介绍：难点34 导数的运算法则及基本公式应用
导数是中学限选内容中较为重要的知识,本节内容主要是在导数的定义,.
●难点磁场
(★★★★★)已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
●案例探究
[例1]求函数的导数:
命题意图:本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,,属于★★★★级题目.
知识依托:解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数.
错解分析:本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错.
技巧与方法:先分析函数式结构,找准复合函数的式子特征,按照求导法则进行求导.
(2)解:y=μ3,μ=ax-bsin2ωx,μ=av-by
v=x,y=sinγγ=ωx
y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av-by)′
=3μ2(av′-by′)=3μ2(av′-by′γ′)
=3(ax-bsin2ωx)2(a-bωsin2ωx)
(3)解法一:设y=f(μ),μ=,v=x2+1,则
y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v-·2x
=f′()··2x
=
解法二:y′=[f()]′=f′()·()′
=f′()·(x2+1)·(x2+1)′
=f′()·(x2+1) ·2x
=f′()
[例2]利用导数求和
(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*)
(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)
命题意图:
★★★★级题目.
知识依托:通过对数列的通项进行联想,(xn)′=nxn-1,.
错解分析:本题难点是考生易犯思维定势的错误,受此影响而不善于联想.
技巧与方法:第(1)题要分x=1和x≠1讨论,等式两边都求导.
解:(1)当x=1时
Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);
当x≠1时,
∵x+x2+x3+…+xn=,
两边都是关于x的函数,求导得
(x+x2+x3+…+xn)′=()′
即Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=
(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,
两边都是关于x的可导函数,求导得
n(1+x)n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1,
令x=1得,n·2n-1=C+2C+3C+…+nC,
即Sn=C+2C+…+nC=n·2n-1
●锦囊妙计
,了解用定义求简单的导数.
表示函数的平均改变量,它是Δx的函数,而f′(x0)表示一个数值,即f′(x)=
,知道导数的等价形式:.
,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是顺利求导的关键.
,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求