文档介绍：难点40 探索性问题
高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.
●难点磁场
1.(★★★★)已知三个向量a、b、c,其中每两个之间的夹角为120°,若|a|=3,
|b|=2,|c|=1,则a用b、c表示为.
2.(★★★★★)假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p,且各引擎是否有故障是独立的,如有至少50%的引擎能正常运行,飞机就可成功飞行,则对于多大的p而言,4引擎飞机比2引擎飞机更为安全?
●案例探究
[例1]已知函数(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值,且f(1)>.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点,并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称,若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
命题意图:本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力,属★★★★★级题目.
知识依托:函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.
错解分析:不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b;忽视b为自然数而导致求不出b的具体值;P、Q两点的坐标关系列不出解.
技巧与方法:,注意在假设存在的条件下推理创新,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定的结论,并加以论证.
解:(1)∵f(x)是奇函数
∴f(–x)=–f(x),即
∴–bx+c=–bx–c
∴c=0
∴f(x)=
由a>0,b是自然数得当x≤0时,f(x)≤0,
当x>0时,f(x)>0
∴f(x)的最大值在x>0时取得.
∴x>0时,
当且仅当
即时,f(x)有最大值
∴=1,∴a=b2 ①
又f(1)>,∴>,∴5b>2a+2 ②
把①代入②得2b2–5b+2<0解得<b<2
又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=
(2)设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点,且P、Q关于点(1,0)对称,
P(x0,y0)则Q(2–x0,–y0),∴,消去y0,得x02–2x0–1=0
解之,得x0=1±,
∴P点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q()
或Q().
过P、Q的直线l的方程:x–4y–1=0即为所求.
[例2]如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为,A、B为直线a上两定点,且|AB|=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的轨迹E;
(2)接上问,当△AMN的外心C在E上什么位置时,d+|BC|最小,最小值是多少?(其中d是外心C到直线c的距离).
命题意图:本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、★★★★★级题目.
知识依托:求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.
错解分析:①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键,如何建系是难点,②第二问中确定C点位置需要一番分析.
技巧与方法:本题主要运用抛物线的性质,寻求点C所在位置,然后加