矩阵分析ChapterTwoSection2.ppt

文档介绍：初等因子和矩阵的相似
一、初等因子
设矩阵的不变因子为
在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积:
其中是互异的复数, 是非负整数。因
为,所以满足如下关系
在上式中,所有指数大于零的因子
称为矩阵的初等因子。
(注意:重复的因子也考虑在内)
例如果矩阵的不变因子为
则的初等因子为
例如果矩阵的秩为4,其初等因
子为
,
,求的Smith标准形。
解:首先求出的不变因子
从而的Smith标准形为
思考:已知初等因子,如何求不变因子?
练****br/>(1)设为一个5阶的矩阵,其秩为3,初等因子为

试求的不变因子和Smith标准形。
(2)设为一个5阶的矩阵,其秩为4,初等因子为

试求的不变因子和Smith标准形。
阶矩阵与等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。
设矩阵
为准对角形矩阵,则与的初等因子的全体是的全部初等因子。
此定理也可推广成如下形式:
定理 若矩阵
则各个初等因子的全体
就是的全部初等因子。
例 1 求矩阵
的初等因子,不变因子与标准形。
解:记
那么
对于,其初等因子为
由上面的定理可知的初等因子为
因为的秩为4,故的不变因子为