文档介绍：2013年中考数学
专题讲座一代数综合题
【典例精析】
=ax2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,O),B(x2,0)(x1<x2),顶点M的纵坐标为-4,若x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根,且x12+x22=10.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍?若存在,求出所符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)求A、B两点的坐标,突破口在x1,x2,两个未知数需两个方程:
①②
方程多出一个m还应再找一个x12+x22=10 ③,用配方法处理先算m.
由③:(x1+x2)2-2x1x2=10 ④将①②代入④,
得4(m2-2m+1)-2m2+14=10,
2m2-8m+8=0,
m2-4m+4=0,
m=2.
且当m=2时,△=4-4×(-3)>0合题意.
将m=2代入①②,得
x12-2x1=3
或
∵x1<x2(看清条件,一个不漏,全方位思考)
∴x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),B(3,0).
(2)求y=ax2+bx+c三个未知数,布列三个方程:将A(-1,0),B(3,0)代入解析式,再由顶点纵坐标为-4,可得:
设y=a(x-3)(x+1)(两点式)
且顶点为M(1,-4),代入上式得
-4=a(1-3)(1+1)
a=1.
∴y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3.
令x=0得y=-3,∴C(0,-3).
(3)四边形ACMB是非规则图形,所以面积需用分割法.
S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM
=AO·OC+(OC+MN)·ON+NB·MN
=×1×3+(3+4)×1+×2×4=9.
用分析法:
假设存在P(x0,y0)使得S△PAB=2S四边形ACMB=18,
即AB│y0│=18,×4│y0│=18,y0=±9.
将y0=9代入y=x2-2x-3,得x1=1-,x2=1+,
将y0=-9代入y=x2-2x-3得△<0无实数根,
∴P1(1-,9),P2(1+,9),
∴存在符合条件的点P1,P2.
【中考样题】
=x2+(m-4)x+2m+4与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x1<x2,x1+2x2=0,若点A关于y轴的对称点是D.
(1)求过点C、B、D的抛物线的解析式;
(2)若P是(1)所求抛物线的顶点,H是这条抛物线上异于点C的另一点,且△HBD和△CBD的积相等,求直线PH的解析式.
(1)由△=(m-4)2+4(2m+4)=m2+32>0
得m1=2,m2=7(舍去),x1=-4,x2=2得A、B、C坐标为:
A(-4,0),B(2,0),C(0,8),所求抛物线的解析式为:y=x2-6x+8
(2)∵y=x2-6x+8=(x-3)2-1,
∴顶点P(3,-1),设点H的坐标为(x0,y0),
∵△BCD与△HBD的面积相等,∴│y0│=8,
∵点H只能在x轴上方,故y0=8,求得H(6,