文档介绍：高等代数中,在讲到线性空间和线性变换时,一个主要内容是讨论矩阵对角化,:设是有限维复线性空间,是上的线性变换,能否在中找到一个基,,并由根子空间分解定理推出线性变换(或阶方阵)(或阶方阵)可对角化的充要条件进行汇总比较,从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣,便于学习和研究根据具体情况选用.
线性空间一个变换称为线性变换,如果对于中任意的元素和数域中任意数K都有
(+)=()+()
()= ()
设是数域上的线性空间的线性变换,W是的子空间,如果W中的向量在下像仍在W中,换句话说,对于W中任一向量,有,我们就称是的不变子空间,简称-空间.
,线性空间的子空间,如果和+中每个向=+,是唯一的,这个和就称为直和.
如果数域上的阶矩阵A相似于对角阵,则可对角化
设是数域上的阶矩阵,如果数域上的多项式使得= 0,.
设是数域上的维线性空间的线性变换,如果存在非零向量,数,N,使得,,再添上零向量所组成的的子集是的一个子空间,称的这个子空间为的属于特征值的根子空间.
Sylvester不等式设均为阶矩阵,秩()+秩()+秩()
线性空间根子空分解定理
引理设是n 维复线性空间V 的线性变换, 是的所有不同的特征值,且其中是V 的全部根子空间,则在
上为幂零线性变换,而在上为可逆线性变换.
证明不失一般性,只证明在上为幂零线性变换,, 则有正整数,使, i = 1,2,…, t ,取p = max, 有, i = 1 ,2…t,于是对任意,令,则=( )= ,即在上, = (为零变换) ,所以在上为幂零线性变换.
令W =,若不可逆,则一定有一个特征根是0 ,因而在W 上有属于特征根0 的特征向量(∈W) ,即有==0, 亦即(0). 又因∈W = ,所以有=,其中( i = 2 ,…,s) 于是有正整数,使, i = 2 ,…, s ,令,则τ() = = 0 , i = 2 ,…, s,从而τ() = τ() + …+ τ(ξs) = 0 , 另一方面, 因为
,又()== .
(根子空间分解定理) 设是维复线性空间V的线性变换, 是的所有不同的特征值,是属于的根子空间, i = 1 ,2 ,…, s ,则.
证明设的特征多项式为
令 i = 1 ,2 ,…, s , 则互素, 于是有多项式, 使, 将代入上式, 得,(为单位变换), 任给ξ∈ V ,有ξ=(ξ) =ξ= , 记, i = 1 ,2 ,…, s ,于是.
下面证明, i = 1 ,2 ,…,
因为,由哈密尔顿- 凯莱定理(为零变换),于是有=(为零变换)
即, i = 1 ,2,…, s ,所以,又显然,故.
再证明上面的和是直和,设, i = 1 ,2 ,…,s 由引理知在上为幂零变换,所以存在正整数,使得在上(为零变换),又由引理,在上为可逆变换,所以在上也是可逆变换,于是
0 ==()= +()=()
从而=0 ,于是, i = 1 ,2 ,… s,由零向量的表法唯一知
根子空间分解定理全部证完.
,,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,.
2. 矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法
特征向量法
设是维线性空间V的一个线性变换, 的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是, 有个线性无关的特征向量.
i=1,2…n
因此, 就是的个线性无关的特征向量.
反过来,如果有个线性无关的特征向量,, 在这组基下的矩阵是对角阵. 证毕.
例1. 设线性变换在基下的矩阵是(1), (2), 问A是否可以对角化?
解(1)因为特征多项式为