文档介绍：第十八章动态优化模型
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。
§1 变分法简介
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。
变分法的基本概念
泛函
设为一函数集合,若对于每一个函数有一个实数与之对应,则称是对应在上的泛函,记作。称为的容许函数集。
通俗地说,泛函就是“函数的函数”。
例如对于平面上过定点和的每一条光滑曲线,绕轴旋转得一旋转体,旋转体的侧面积是曲线的泛函。由微积分知识不难写出
(1)
容许函数集可表示为
(2)
最简单的一类泛函表为
(3)
被积函数包含自变量,未知函数及导数。(1)式是最简泛函。
泛函的极值
泛函在取得极小值是指,对于任意一个与接近的,都有。所谓接近,可以用距离来度量,而距离定义为
泛函的极大值可以类似地定义。称为泛函的极值函数或极值曲线。
泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量,函数在的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
如果可以表为
其中为的线性项,而是的高阶项,则称为泛函在的变分,记作。用变动的代替,就有。
泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数:
(4)
这是因为当变分存在时,增量
根据和的性质有
所以
极值与变分
利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:
若在达到极值(极大或极小),则
(5)
这是因为对任意给定的,是变量的函数,该函数在处达到极值。根据函数极值的必要条件知
于是由(4)式直接得到(5)式。
. 变分法的基本引理
引理,,,有
,
则。
无约束条件的泛函极值
求泛函
(6)
的极值,一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线,使给定的二阶连续可微函数沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线(或轨线),记为。
端点固定的情况
设容许曲线满足边界条件
, (7)
且二次可微。
首先计算(6)式的变分:
(8)
对上式右端第二项做分布积分,并利用,有
,
再代回到(8)式,并利用泛函取极值的必要条件,有
因为的任意性,及,所以由基本引理得到著名的欧拉方程
(9)
它是这类最简泛函取极值的必要条件。
(9)式又可记作
(10)
通常这是的二阶微分方程,其通解的两个任意常数由(7)式中的两个端点条件确定。
最简泛函的几种特殊情形
(i) 不依赖于,即
这时,欧拉方程为,这个方程以隐函数形式给出,但它一般不满足边界条件,因此,变分问题无解。
(ii) 不依赖,即
欧拉方程为
将上式积分一次,便得首次积分,由此可求出,积分后得到可能的极值曲线族
(iii) 只依赖于,即
这时,欧拉方程为
由此可设或,如果,则得到含有两个参数的直线族。另外若有一个或几个实根时,则除了上面的直线族外,又得到含有一个参数的直线族,它包含于上面含有两个参数的直线族中,于是,在情况下,极值曲线必然是直线族。
(iv)只依赖于和,即
这时有,故欧拉方程为
此方程具有首次积分为
事实上,注意到不依赖于,于是有
。
例1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于1696年提出的。问题的提法是这样的:设和是铅直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结和的平面曲线中,求一曲线,当质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从滑行至时,使所需时间最短。
解将点取为坐标原点,轴水平向右,轴垂直向下,点为。根据能量守恒定律,质点在曲线上任一点处的速度满足(为弧长)
将代入上式得
于是质点滑行时间应表为的泛函
端点条件为
最速降线满足欧拉方程,因为
不含自变量,所以方程(10)可写作
等价于
作一次积分得
令则方程化为
又因
积分之,得
由边界条件,可知,故得
这是摆线(圆滚线)的参数方程,其中常数可利用另一边界条件来确定。
例2 最小旋转面问题
解因不包含,故有首次积分
化简得
令,代入上式,
由于
积分之,得
消去,就得到。
这是悬链线方程。
最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况