文档介绍：第一讲函数(文)
第一节初等函数
函数是高中数学的主干知识,是高中数学的一条主线,它涉及了函数的概念和性质,基本初等函数,数列,不等式,方程,导数,解析几何和立体几何等,是历年高考的重点、(由基本初等函数经过运算或复合组成的)是基础. 一般地, 在高考试题中,、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题,综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. ~.
考试要求: ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域;③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性;④了解反函数的概念及指数函数与对数函数互为反函数;⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质;.
题型一判定初等函数的性质
例1 求函数的值域.
点拔函数是三次函数与三角函数复合函数而成的,令得,本题
就转化为求,的值域. 三次函数求值域常用导数的方法.
解 ,则,∴,
由,得或;由,,得,列表:
t
1
0
0
减函数
有极小值
增函数
函数有极小值
又,,∴.
易错点①令,忽略了;②错误地认为最值一定在端点处取得.
变式与引申1: 函数的值域为_____________
题型二抽象函数的性质
例2 已知函数对任意实数都有,且当时,
,求在上的值域.
点拔此题是抽象函数,但是初等函数中,可以找到一个具体函数满足条件,如,由此
猜想抽象函数在是递增函数,再用定义证明递增.:设,且,则,.
解设,且,则,由条件当时,
又
为增函数, 令得,再令用得出,
令得上的值域为
易错点利用性质“当时,”证明单调性,易出错.
变式与引申2: 设函数y=是定义在R上的函数,并且满足下面三个条件:
①对任意正数有;②当时,;③.
(1)求的值; (2)证明上是减函数.
题型三函数奇偶性的判断
例3 判断函数的奇偶性.
点拔利用定义判断函数的奇偶性:第一步:看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称,则
为非奇偶非函数;若定义域关于原点对称,则进行第二步:验证与的关系,若(或)则为偶函数;若
(或)
的时候,可以考虑验证特殊值.
解当时,为偶函数;
当时,
既不是奇函数也不是偶函数.
易错点①用定义判断奇偶性时,容易漏掉的情况.
②的情况难于得出与的关系,易出错.
变式与引申3: 设为实数,.
题型四函数思想的应用
例4 关于 x的方程有四个不同的解,求的取值范围.
点拔此题有多种思考方法:法1: 原方程看作含绝对值的方程,则采用去绝对值的方法,分段讨论解一
元二次方程:,等价于有2个不等的正解,.
法2:把原方程看作是关于的一元二次方程,则令,则原问题等价于有2个不等的正数解.
法3:采用函数思想来观察方程,则可以把原方程变为:,,我们还有下面各种变形:
解法1 有四个不同的解等价于有2个不等的正解,
且有2个不同的负数解.
有2个不等的正解
有2个不同的负数解
综上所述:.
法2 令则原问题等价于有2个不等的正数解.
.
图
法3 在同一直角坐标系内画出直线与曲线的图像,如图观图可知,
的取值必须满足,解得.
易错点①作为二次方程分类,运算量大,易出错;
②易忽略;
③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题..
变式与引申4:
(2011年北京卷。文)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k
的取值范围是_______
本节主要考查①初等函数的基本性质(定义域,值域,奇偶性等),理解函数的基本问题是初等函数问题;②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题;③熟练作出初等函数的图像利用数形结合;④函数思想.
点评(1)基本方法:①熟练掌握基本初等函数的性质和图像;②初等函数利用变量代换转化为基本初
等函数; ③求出中间变量的范围.
(2)求定义域的常用方法:
根据函数解析式求函数的定义域,利用函数式有意义,列出不等式组,:
①分式分母不为;②偶次方根的被开放数不能小于;③对数函数的真数大于,底数大于且不等于1;
④终边在轴上的角的正切没有意义;⑤没有意义;⑥复合函数的定义域,要保证内函数的值域是外函数的定义域.
⑦实际问题或几何问题给出的函数定义域除了要考虑函数解析式有意