文档介绍：第3章随机信号分析
引言
随机变量的概率分布与概率密度函数
随机过程
随机过程通过线性系统
通信系统中的噪声
本章小结
习题
引言
在第2章中我们对确知信号进行了分析。在实际通信系统中,携带消息的信号一般都带有随机性。同时,携带消息的信号在传输过程中,不可避免地要受到噪声的干扰,噪声一般也是随机的。因此,广泛地说,无论信号还是噪声,两者都是随机的。它们不能表示成一个确定的时间函数,要分析此类信号和噪声的内在规律性,只有找出它们的统计特性,根据随机理论来描述。
本章将对随机信号和噪声的数学模型——随机过程作理论上的讨论,并用随机过程的理论来解决实际问题。
随机变量的概率分布与概率密度函数
什么是随机变量
生活中有许多随机变量的例子。例如:掷一枚硬币出现正面与反面的随机实验。我们规定数值1表示出现反面,数值0表示出现正面,这样做就相当于引入一个变量X,它将随机地取两个数值,而对应每一个可能取的数值,有一个概率,这一变量X就称之为随机变量。
当随机变量X的取值个数有限或无穷可数时,称它为离散随机变量,否则就称之为连续随机变量,即可能的取值充满某一有限或无限区间。
概率分布函数F(x)
假设随机变量X可能取xi=x1、 x2、 x3、 x4四个值,且有x4>x3>x2>x1,相应的概率为P(xi)或P(X=xi),则有
P(X≤x2)=P(x1)+P(x2)
P(X≤x2)的含义是随机变量取值小于等于x2的概率,它等于变量取值x1和x2的概率之和。用P(X≤x) 定义的x的函数称之为随机变量X的概率分布函数(简称分布函数),记作F(x),即
F(x)=P(X≤x) (3-2-1)
它表示随机变量取值小于等于x的概率。在这个定义中,X可以是离散的也可以是连续的,显然F(x)有如下特点:
(1) F(-∞)=P(X≤-∞)=0;
(2) F(∞)=P(X≤∞)=1;
(3) 如果x1≤x2,则F(x1)≤F(x2),即概率分布函数F(x)为单调不减函数。
设随机变量X可能的取值有四个,分别是0、1、2、3,概率都为1/4,即P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=1/4。求概率分布函数F(x)并画出曲线。
解分几个区间来讨论。
当x<0时
当x=0时
当0≤x<1时
当1≤x<2时
当2≤x<3时
当3≤x<∞时
根据上面的讨论结果,画出F(x)。
概率分布函数
概率密度函数F(x)
1. 概率密度函数的定义及性质
若存在连续随机变量X,其分布函数F(x)与一个非负函数F(x)之间有如下关系
(3-2-2)
则称F(x)为X的概率密度函数(简称概率密度)。因为式(3-2-2)表示随机变量X在(-∞,x)区间上取值的概率,故F(x)具有概率密度的含义。式(3-2-2)也可写成
(3-2-3)
因此,概率密度就是分布函数的导数。
概率密度有如下性质:
(1) F(x)≥0
(2)
(3)
(4)
说明:随机变量、概率分布函数和概率密度函数均是多维的,但在通信原理课程中用得最多的是一维概率密度函数。
某随机变量X,(a)所示。求其概率密度函数F(x)。