文档介绍：二倍角的正弦、余弦、正切(3)
教学目的:
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力
教学重点:二倍角公式的应用
教学难点:灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复****引入:
二倍角公式:
;
;
;
二、讲解新课:
sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb
Þ sinacosb =[sin(a + b) + sin(a - b)]
sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb
Þ cosasinb =[sin(a + b) - sin(a - b)]
cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb
Þ cosacosb =[cos(a + b) + cos(a - b)]
cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb
Þ sinasinb = -[cos(a + b) - cos(a - b)]
若令a + b = q,a - b = φ,则, 代入得:
∴
证:1°在中,以a代2a,代a 即得:
∴
2°在中,以a代2a,代a 即得:
∴
3°以上结果相除得:
4°
证:1°
2°
3°
三、讲解范例:
例1已知,求3cos 2q + 4sin 2q 的值
解:∵∴cos q ¹ 0 (否则 2 = - 5 )
∴解之得:tan q = 2
∴原式
例2已知,,tana =,tanb =,求2a + b
解: ∴
又∵tan2a < 0,tanb < 0 ∴,
∴∴2a + b =
例3已知sina - cosa = ,,求和tana的值
解:∵sina - cosa = ∴
化简得:
∴
∵∴∴
即
例4已知cosa - cos b = ,sina - sinb = ,求sin(a + b)的值
解:∵cosa - cos b = ,∴①
sina - sin b =,∴②
∵∴∴
∴
例5求证:sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a
证:左边= (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a
= -(cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a
= -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2
acos2a
= cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1)
= cos2a2cos22a = cos32a = 右边
∴原式得证
四、课堂练****br/>1已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0
求证:α+2β=
证法1:由已知得3sin2α=cos2β①
3sin2α=2sin2β②
①÷②得tanα=
∵α、β为锐角
∴0<β<,0<2β<π,-π<-2β<0,
∴-<-2β<
∴α=-2β,α+2β=
证法2:由已知可得:
3sin2α=cos2β
3sin2α=2sin2β
∴cos(α+2β)=cosα·cos2β-sinα·sin2β
=cosα·3sin2α-sinα·sin2α
=3sin2αcosα-sinα·3sinαcosα=0
又由α+2β∈(0,)
∴α+2β=
①
②
证法3:由已知可得
∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β
=sinα·3sin2α+cosα·sin2α
=3sinα(sin2α+cos2α)=3sinα
又由②,得3sinα·cosα=sin2β③
①2+③2,得9sin4α+9sin2αcos2α=1
∴sinα=,即sin(α+2β)=1
又0<α+2β<
∴α+2β=
评述:一般地,若所求角在(0,π)上,则一般取此角的余弦较为简便;若所求角在(-,)上,则一般取此角的正弦较为简便;当然,若已知条件与正切函数关系比较密切,也可考虑取此角的正切
2在△ABC中,sinA是cos(B+C)与cos(B-C)的等差中项,
试求(1)tanB+tanC的值(2)证明tanB=(1+tanC)·cot(45°