文档介绍：
案例2 秦九韶算法
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.
x=5
f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7
PRINT f
END
程序
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.
这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,
即先计算x2,然后依次计算
的值.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
求多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1当x=-2时的值.
[解析] 先改写多项式,再由内向外计算.
f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1.
而x=-2,所以有:
v0=1,v1=v0x+a4=1×(-2)+5=3,
v2=v1x+a3=3×(-2)+10=4,
v3=v2x+a2=4×(-2)+10=2,
v4=v3x+a1=2×(-2)+5=1,
v5=v4x+a0=1×(-2)+1=-1.
即f(-2)=-1.
例3:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解法一:首先将原多项式改写成如下形式: f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
2 -5 -4 3 -6 7
x=5
10
5
25
21
105
108
540
534
2670
2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
原多项式的系数
多项式的值.
例3:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解法二:列表
2
2 -5 0 -4 3 -6 0
x=5
10
5
25
25
125
121
605
608
3040
3034
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
解:原多项式先化为:
f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
列表
2
15170
15170
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.