文档介绍：考研高等数学考前重点复习(下)
第五章定积分的概念
教学目的与要求:
解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。
解广义积分的概念并会计算广义积分。
(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。
定积分的定义
不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分
定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点
,
把区间[a,b]分成n个小区间,记在[]上任意取一点,作和式:
如果无论[a,b]作怎样分割,也无论在[]怎样选取,只要有I (I为一个确定的常数),则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分,简称积分,记做即I=其中f(x)为被积函数,f(x)dx为积分表达式,a为积分下限,b为积分上限,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间。
注
定积分还可以用语言定义
2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=和S=
3有定义知道表示一个具体的书,与函数f(x)以及区间[a,b]有关,而与积分变量x无关,即==
4定义中的不能用代替
5如果存在,则它就是f(x)在[a,b]上的定积分,那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢?
经典反例:在[0,1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
6几何意义
当f(x)0时,表示曲边梯形的面积;当f(x) 0时,表示曲边梯形的面积的负值;一般地,若f(x)在[a,b]上有正有负,则表示曲边梯形面积的代数和。
[例1]计算
解:显然f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积,现将[0,1]分成n个等分,分点为,,取作和式:
所以:=e-1
有定积分的定义知,是当a<b时才有意义,而当a=b与a>b时无意义,但为了计算及应用的方便,特作两个规定:
a=b时,=0
a>b时,=-
性质1:和差的定积分等于它的定积分的和差,即
性质2:常数因子可以外提(可以推广到n个)
性质3:无论a,b,c的位置如何,有
性质4:f(x)则
性质5:若f(x)g(x)则
性质6:
性质7:设在,,则
性质8:(积分中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,则[a,b]上至少存
一点,使下式成立,
,求定积分值
上式表示介于, , , 之间面积
例2、(估计积分值) 证明
证:
在上最大值为,最小值为2
∴
∴
变上限积分函数的导数
设函数f(x)在[a,b]上连续,x为[a,b]上任一点,显然,f(x)在[a,b]上连续,从而可积,定积分为由于积分变量与积分上限相同,为防止混淆,修改为(
)称是变上限积分的函数。
定理1:设f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上可导,且导数为
证明省略
定理2:如果函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
注意:
1定理说明了连续函数的原函数一定存在
2此定理指出了定积分与原函数的关系
二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式
定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则
。(1)
证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又根据前面的定理知道,积分上限的函数
也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数,即。(2)
在上式中令x = a,得。又由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F (a) = 0,因此,C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C,以代入(2)式中的F (x),可得
,
在上式中令x = b,就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知,(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见,以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式,它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法,也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2 计算。
解。
例3 计算。
解。
例4 计算正弦曲线y = sinx在[0,p ]上与x轴所围成的平面图