文档介绍：数列求和的技巧和方法
摘要:“数列求和”是数列知识体系的重要内容,常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起,以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。除了等差数列和等比数列有求和公式外,大多数数列求和的问题都需要一定的解题技巧和方法。
关键词:数列求和问题;高考重要内容; 高中数学;技巧和解法; 总结点评
数列是高中数学的重要内容,并在高考中占有重要的地位。其中的“数列求和”是数列知识体系的重要内容,常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起,以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题,但是逐年淡化。然而,2011年高考,数列求和、求通项有了回归趋势。除了等差数列和等比数列有求和公式外,大多数数列求和的问题都需要一定的解题技巧和方法。
一、利用常用公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列求和公式:sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)d22、等比数列求和公式:sn=na1(q=1)a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1) 3、sn=1+2+3+…+n=12n(n+1)4、sn=12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)
5、sn=13+23+33+…+n3=[12n(n+1)]2【总结点评】通项an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;通项an=a·qn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解,但要注意对公比q是否等于1两种情况进行讨论。
二、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可以分为几个等差、等比或者常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。例1、已知数列an的通项公式an=3n+2n-1,求数列an的前n项和s:sn=a1+a2+a3+…+an=(2+5+…+3n-1)+(2+22+…+2n)=n(2+3n-1)2+2-2n+11-2=12n(3n+1)+2n+1-2例2、求数列5,55,555,5555,…的前n项和s:∵an=59(10n-1)∴sn=5910-1+102-1+…+10n-1?=5910+102+…+10n+-1·n=59101-10n1-10-n?=508110n-1-59n【总结点评】用分组法求和,常见的题型为:an=bn±cn,数列bn,cn是等差数列或等比数列。
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排序,再把它与原数列相加,可以得到n个a1+an。例3、设fx=12x+2,求f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6的值。解:f1-x+fx=121-x+2+12x+2=2x2+2·2x+12x+2=2x22+2x+222+2x=22设s=f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6,则s=f6+f5+
…+f0+…+f-4+f-5,两式相加得2s=12×22,∴s=32。例4、求证:c0n+3c1n+5c2n+…+2n+1cnn=n+12:设sn=c0n+3c1n+5