文档介绍：普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座30)—数列求和及数列实际问题
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,发现数列的数列的通项和递推关系,并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。
数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位,一般情况下都是出一道解答题,解答题大多以数列为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法,这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,它们都属于中、高档题目。
有关命题趋势:
,而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具,三者的综合题是对基础和能力的双重检验,在三者交汇处设计试题,特别是代数推理题是高考的重点;
,这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力,能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度;
,如与解析几何的结合等;
。
预测2007年高考对本将的考察为:
、生活中的实际问题的解答题;
、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题,以及数列、数学归纳法等有机结合。
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系式:an= 。
(2)求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列;
②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1;
③归纳、猜想法。
(3)数列前n项和
①重要公式:1+2+…+n=n(n+1);
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1);
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2;
②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;
③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;
④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:、=-、n·n!=(n+1)!-n!、Cn-1r--1r、=-等。
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错项相消法。, 其中是等差数列, 是等比数列,记,则,…
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn。
数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。
⑦通项分解法:
数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1,及a1=1,确定的数列即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种:
(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。
(2)迭代法。
(3)代换法。包括代数代换,对数代数,三角代数。
(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
题型1:裂项求和
,且公差不为0,首项也不为0,求和:。
解析:首先考虑,则=。
点评:已知数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,下列求和也可用裂项求和法。
。
解析:,
点评:裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。
题型2:错位相减法
,求数列a,2a2,3a3,…,nan,…的前n项和。
解析:①若a=0时,Sn=0;
②若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=;
③若a≠1,a≠0时,Sn-aSn=a(1+a+…+an-1-nan),
Sn=。
,数列是首项为a,公比也为a的等比数列,令
,求数列的前项和。
解析:,
①-②得:,
点评:设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。
题型3:倒序相加
。
解析:。①
又。②
所以。
点评:Sn表示从第一项依次到第n项的和,然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和,将所得两式相加,由此得到Sn的一种求和方法。
,且首项为的等差数列,
求和:
解析:因为,
,
。
点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列的前项和,是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。