文档介绍：函数、极限和连续
§ 函数
主要内容
㈠函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
:
: F(x,y)= 0
: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当x1<x2时,
若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( );
若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( );
若f(x1)<f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加( );
若f(x1)>f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。
: 首先要证明定义域对称:才有下面,否则是非奇非偶
偶函数:f(-x)=f(x)
奇函数:f(-x)=-f(x)
:
周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞)
周期:T——最小的正数
: |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢基本初等函数(六个基本初等函数,,,,,,。)
㈣复合函数和初等函数
: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数(重点要记住,初等函数在定义域里连续。
§ 极限
主要内容
㈠极限的概念
数列的极限:
称数列以常数A为极限;
或称数列收敛于A.
定理: 若的极限存在必定有界.(反过来就不一定成立,自己想想)
:
⑴当时,的极限:
⑵当时,的极限:
左极限: 右极限:
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
上述定理通常用于证明极限是否存在。
㈡无穷大量和无穷小量
无穷大量: 称在该变化过程中为无穷大量。
X再某个变化过程是指:
无穷小量: 称在该变化过程中为无穷小量。
无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
无穷大量与无穷小量是倒数关系。
无穷小量的比较:
无穷小量和无穷大量的性质
上述要理解。
定理:若:
则:
㈢两面夹定理(又称夹逼定理)
数列极限存在的判定准则:
设: (n=1、2、3…)
且: 则:
函数极限存在的判定准则:
设:对于点x0的某个邻域内的一切点
(点x0除外)有:
且: 则:
㈣极限的运算规则是极限的性质,在读专科的时候就要熟悉。
㈤两个重要极限
1. 或
2.
在证明0/0型极限的时候大家要用无穷小代换定理和
§ 连续
主要内容
㈠函数的连续性
函数在处连续:在的邻域内有定义,
1o
2o
左连续:
右连续:
函数在处连续的必要条件:
定理:在处连续在处极限存在
函数在处连续的充要条件:
定理:
函数在上连续:
在上每一点都连续。
在端点和连续是指: 左端点右连续;
右端点左连续。注意区分区间联系和点联系的定义。
函数的间断点:
若在处不连续,则为的间断点。
间断点有三种情况: 两类间断点的判断:
1o第一类间断点:
2o第二类间断点:
:
㈡函数在处连续的性质
连续函数的四则运算:(自己看书。不在列出来)
复合函数的连续性:
反函数的连续性:
以上看书。书上重点列出。
㈢函数在上连续的性质
:
在上连续在上一定存在最大值与最小值。
先求驻点,
求出驻点和A点及B点的函数值。
最大为最大值,最小为最小值。
有界定理:
:
在上连续在内至少存在一点,使得:, 推论:
在上连续,且与异号
在内至少存在一点,使得:。
:
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章一元函数微分学(重点)
§ 导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
:在的某个邻域内有定义,
:
右导数:
定理:在的左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
则:
(或:)
: 定理:在