文档介绍：圆锥曲线与方程
1. 定义椭圆:把平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
练****1。判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明a2、b2,写出焦点坐标
: 焦点在分母大的那个轴上。
练****2。将下列方程化为标准方程,并判定焦点在哪个轴上,写出焦点坐标
练****3。写出适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴,焦点在轴上;
⑵,焦点在轴上;⑶
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是,并且经过点,求它的标准方程.
例2 在圆x2+y2 =4上任取一点P,向x轴作垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形?
例3 设点的坐标分别为,.直线相交于点,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程.
:
1).范围
由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式
≤1, ≤1
即 x2≤a2, y2≤b2
所以|x|≤a, |y|≤b
即-a≤x≤a, -b≤y≤b
这说明椭圆位于直线x=±a, y=±b所围成的矩形里。
2).对称性
椭圆关于x轴,y轴和原点都是对称的。
这时,椭圆的对称轴是什么?[坐标轴]
椭圆的对称中心是什么?[原点]
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
3).顶点
在椭圆的标准方程里,
令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
令y=0,得x=±a。这说明了A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
因为x轴,y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点。
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)
由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a c2=a2-b2
4).离心率
定义:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫做椭圆的离心率。
因为a>c>0,所以0<e<1.
(1)e越接近1时,则c越接近a,从而b越小,因此椭圆越扁;
(2)e越接近0时,则c越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合于椭圆的中心,图形变成圆。
当e=1时,图形变成了一条线段。[为什么?留给学生课后思考]
4. 焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.
例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
解:把已知方程化为标准方程, 这里a=5,b=4,所以c==3
因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a=10,2b=8
离心率e==
两个焦点分别是F1(-3,0),F2(3,0),
四个顶点分别是A1(-5,0) A1(5,0) A1(0,-4) F1(0,4).
例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(-3,0)、(0,-2);
(2)长轴的长等于20,
例3 点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,求点的轨迹.
椭圆及其标准方程同步测试
一、选择
.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为( )
.椭圆的焦点坐标是( )
A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)
.已知椭圆的方程为,焦点在轴上,则其焦距为( A )
D.
.方程表示椭圆,则的取值范围是( )
A. B.∈Z)
C. D. ∈Z)
,下列a, b, c全部正确的一项是
(A)a=100, b=64, c=36 (B)a=10, b=6, c=8 (C)a=10, b=8, c=6 (D)a=100, c=64, b=36
, F2是定点,| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8,则点M的轨迹是
(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段
二、填空
7.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
,焦点坐标为;若CD为过左焦点的弦,则的周长为
,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆方程为.
+=1上,F1,F2是椭圆的焦点,若PF1⊥PF2,则P点的坐标是.
三、解答
+=1(a>b>0)