文档介绍：§ 坐标系与参数方程
基础自测
=4sin化为直角坐标方程为.
答案 x2+(y-2)2=4
(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4的点的坐标为.
答案(-3,6)或(5,-2)
(2,3)的直线的参数方程(t为参数),若此直线与直线x-y+3=0相交于点B,则|AB|= .
答案 2
(t为参数)被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为.
答案
+y=m与圆(为参数,m>0)相切,则m为.
答案 2
例1 将极坐标方程sin=化为直角坐标方程,并说明该方程表示什么曲线.
解由sin=,=,
得sin===.
则y>0,平方得x2+y2=9y2,
即y2=x2,y=±x,
因此,它表示端点除外的两条射线:
y=x (x>0)和y=-x(x<0).
例2 在极坐标系中,求过点A,并且平行于极轴的直线l的极坐标方程.
解如图所示,设M(,)为直线l上的任意一点,
则OM=,∠MOC=.
过点A,M作极轴的垂线AB,MC交极轴与B,C两点.
∵l∥Ox,∴MC==6,∠AOB=.
所以MC=AB===,得sin=3.
所以sin=3为所求的直线l的极坐标方程.
例3 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
(1)(t为参数);
(2)(t为参数);
(3)(t为参数);
(4)(为参数).
解(1)由x=1+t得,t=2x-2.∴y=2+(2x-2).
∴x-y+2-=0,此方程表示直线.
(2)由y=2+t得,t=y-2,∴x=1+(y-2)2.
即(y-2)2=x-1,方程表示抛物线.
①
②
(3)由
∴①2-②2得,x2-y2=4,方程表示双曲线.
①
②
(4),得
①2+②2,得=1表示椭圆.
例4 (2008·盐城调研)(14分)求直线(t为参数)被曲线=cos所截的弦长.
解将方程,=cos分别化为普通方程:3x+4y+1=0,x2+y2-x+y=0, 7分
圆心C半径为,圆心到直线的距离d=,弦长=2=2=. 14分
,已知三点M、N(2,0)、P.
(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;
(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.
解(1)由公式,得M的直角坐标为(1,-);
N的直角坐标为(2,0);P的直角坐标为(3,).
(2)∵kMN==,kNP==.
∴kMN=kNP,∴M、N、P三点在一条直线上.
(a>0),半径为a的圆的极坐标方程.
解如图所示,设M(,)为圆上的任意一点(点O,B除外),则OM=,∠MOx=.
连结BM,OB=2a,∠MOB=-.
在直角三角形OBM中,
cos∠MOB==
=cos(-),
即=2acos(-).(*)
经检验,O(0,),B(2a,)满足方程(*),
所以=2acos(-)为所求的圆的极坐标方程.
3.(2008·栟茶模拟)将参数方程(为参数)化为普通方程,并指出它表示的曲线.
解 y=4cos2=4-8sin2,
由x=3sin2,得sin2=.
∴y=4-x,即8x+3y-12=0.
∵x=3sin