文档介绍：一堂抛物线“再创造”习题课
江苏省太仓高级中学(215400) 王佩其
解题教学是数学教学的一个重要环节,也是发展学生数学能力的主要途径。荷兰著名教育家弗莱登塔尔认为,学习数学的过程实际上是学习者对数学“再创造”的过程。因此笔者以为,在解题教学中,教师若能选择恰当例题,并引导学生对例题进行“再创造”,让学生“小题大做”、“借题发挥”,则往往能收到激活学生思维、发展学生能力的教学效果。下文是一堂抛物线“再创造”习题课的教学过程和笔者的教学认识,仅供参考。
1 教师给出题目,学生自行解答
教师先引导学生回顾抛物线的图象及其性质,然后给出如下问题,要求学生独立完成。
原题: 求抛物线上与原点距离最近的点P的坐标。
这是一道难度不大的题目,不到5分钟许多学生便给出了如下解答:
解: 设所求的点P的坐标为,则
当时,,这时
∴点为所求的点。
本题虽然难度不大,几乎全班学生人人能独立完成,却是学生“再创造”学习的起点,同时也符合学生从易到难、从简单到复杂的认知规律。
教师提出问题,引导“再创造”
教师提出问题:刚才我们求的是抛物线上到原点距离最近的点,那么你能求出抛物线上到x轴任意一点的距离最短的点吗?请编题,并加以解答,允许相互探讨。学生们兴趣盎然,思维活跃,他们互相合作,取长补短,不一会便成功地解决了问题。他们的“成果”如下:
再创造1 在抛物线上求一点M,使此点到的距离最短,并求最短距离.
解设点M的坐标为,则
若,则当时,,这时点M的坐标为(2,0);
若,则当时,,
这时点M的坐标为。
从抛物线上到定点的最短距离的点的求法,通过“再创造”上升到抛物线上到动点的最短距离的点的求法,培养了学生思维的变通性,同时也使学生能“运动”地看待数学问题,自觉运用分类讨论的数学思想,他们的数学能力在“再创造”中得到提高。
3 学生提出问题,自主“再创造”
在教学过程中,善于引导学生变换习题的形式,这只是学生“再创造”学习的初级阶段,教师应该创设情境,让学生自由发挥,自行提出问题,自行编题,自行解答,让“再创造”学习进一步深化。于是笔者要求学生们继续相互合作,在原题基础上自由发挥,把原题进一步拓展。他们苦苦思索,类比联系,十几分钟后便有学生完成了任务,于是教师相继请几位学生走上讲台,当一回小老师。
学生1:我把原题改编成抛物线上的点与一条直线的关系,请看下题与解答:
再创造2 在抛物线上求一点M,使此点到直线x+y-3=0的距离最短,并求最短距离.
解:设与已知直线x+y-3=0平行且与抛物线相切的直线为x+y+c=0,则由方程组消去x得,y2-2y-2c-4=0,因为直线与抛物线相切,
所以Δ=(-2)2-4(-2c-4)=0,得c= -5/2
把c= -5/2代入方程组,便可解得M点坐标为(3/2,1)
此时要求的抛物线上的点到直线的最短距离,即为两条平行线x+y-5/2=0与x+y-3=0间的距离d=|-5/2-(-3)|/=。
教师点评:学生1由抛物线上到定点的最短距离的点联想到到定直线最短距离的点,巧妙的引入了平行切线,把点到直线的距离转化成两平行线间的距离,从而大大优化了解题过程。这再一次提醒我们,解数学题贵在“转化”。学生1无论编题还是答题,都很成功,不过此题仍可以利用通法,即