文档介绍：一、几何非线性问题基本理论
在经典的材料力学和弹性力学中有一个基本假设,即位移与应变关系是线性的,且应变为小量,这样得到的最后方程是线性的。
但在实际工程领域内,这个线性假设往往不再适用,例如航空薄壁结构、在某些载荷情况下的薄板和薄壳、机械上的柔软支架等,位移可以较大,因此位移与应变关系不可用线形关系来描述。更有一些力学现象,例如金属的塑性变形、金属辗压成形等,应变超过10%以上,因此要用大应变(或称有限应变)理论。
凡考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理论均属于几何非线性问题,几何非线性包括大位移的小应变问题以及大位移大应变问题。
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1 有限应变与应力
(2) 柯西(Cauchy)应变,也称阿尔曼西(Almansi)应变或欧拉(Eular)应变
(1) 格林(Green)应变,也称格林-拉格朗日(Green-Largrange)应变
结构的变形
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2 变形率和本构关系
2. 参照描述
3. 相对描述
很少用于连续介质力学和有限元法中
拉格朗日描述
位移是以原始构形为出发点
独立变量为任意选择的参照构形中质点P的当前坐标与时间t,其中参照构形的任意选择是任意的,而且不影响计算结果
用时间tn的构形为参考构形的当前质点坐标。
更新的拉格朗日描述
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4. 空间描述
5. 任意拉格朗日-欧拉描述
独立变量是质点P当前位置xin+1(i=1,2,3)和t。在瞬时t的运动是以变形后该时刻的构形为观察的依据。这种描述称为欧拉描述。在欧拉描述中,有限元网格在空间是固定的,材料流过这些网格,因此它适用于流体及定常运动过程,如稳态挤压过程。由于拉格朗日描述的坐标附着在物质点上,因而易于引入本构关系和处理表面载荷问题。
任意拉格朗日-欧拉描述又称耦合拉格朗日-欧拉描述。在ALE描述中,另外引入了一个独立于初始构形和现时构形的参照构形,在物体变形过程中,观察者始终跟随参照构形运动,因而对观察者而言,参照构形是固定不动的,而初始构形和现时构形都相对于参照构形运动。
2 变形率和本构关系
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二、几何非线性有限元方程的建立
一是从虚功原理出发,直接使用应力与共轭应变。
几何非线性有限元法至今没有一个统一的方法,从不同的能量原理,应变位移方程和不同的应力和应变可以得到不同的非线性有限元方程。
在建立几何非线性方程时,选择的能量平衡方程大体有两类:
另一类是由增量变形的变分原理出发,使用应变率和应变率。
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二、几何非线性有限元方程的建立
1 全拉格朗日列式法()
设一个运动的物体,假定对于时刻以前的解均已得到,当前的目标是去建立一个方程,由方程可解得时刻的各未知量。
See:P124-126
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采用如下假设:
(弹性的)应变较之不可恢复的(非弹性的)应变小得多,因此可把总应变线性分解为两部分之和,这与小应变理论相同;
,材料系数量值仅随加载历程变化,但其轴的方向不变;
,把应力与应变视为线性关系。
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2 结构稳定性和屈曲问题
在有限元理论中列出的静力平衡问题的非线性有限元方程,可以用于分析结构力学中的一类重要问题,即结构稳定性和屈曲问题。分析的目的是求解结构从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界载荷和失稳后的屈曲形态。
特征是:结构在基本的载荷-位移平衡路径()的附近还存在另一分叉平衡路径()。当载荷到达临界值Pcr时,如果结构或载荷有一微小的扰动,载荷-位移将沿分叉平衡路径发展。
结构的载荷临界点可分为两种类型
分叉临界点
极值临界点
特征是:当载荷到达临界(最大)值时,如果载荷或位移有微小变化,将分别发生位移的跳跃或载荷的快速下降。前者称为急速跳过。后者称为垮塌。
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2 结构稳定性和屈曲问题
分叉临界点的载荷-位移平衡路径
例如直杆受精确沿中心线方向的压力作用,当载荷到达临界值时,杆子除平直的平衡路径()以外,还存在横向屈曲的平衡路径(II),而前者是不稳定的。
极值临界点的载荷-位移平衡路径
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如果失稳前结构处于小变形状态,可以不考虑几何非线性对平衡方程和几何方程的影响。如同时假定材料仍处于弹性状态,则失稳前可采用线弹性分析来求解结构内的位移和应力。
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