文档介绍：共线向量定理的推论的推广及应用
贵州织金一中龙瑞华
最近几年的高考试题中,很多题目都是以向量知识为背景,向量知识成高考的热点。在高二下册B版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。
一、推论的叙述及变式。
图(一)
B P A
O
r
a
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式:
在l上取,则(1)式可化为
因为
∴
由(2)式可看出等号的左边向量的系数1刚好等于右边的向量与的系数之和1-t+t,由推论易知此时A、B、P三点同在一条直线上。O为直线外一点,即P为△OAB边AB上的点,线段OB、OP、OA是有共同端点的三条线段,另外的三个端点都在同一条线上。线段OP刚好是三条线段中的中间一条,它所表示的向量,在等式中,左边系数之和=右边系数之和。
二、推论的推广
由共线向量定理的推论,我们可以得到如下结论:
结论一:在△ABC中,D为BC边上的点,如果
A
B x D y C
,则以A点为起点的三个向量的中间一个向量=。
图(二)
证明:即可证明。
结论二:共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上,那么用其中二个向量表示另一个向量时,左边系数之和等于右边系数之和。
图(四)
B E C
A
D
图(三)
B E C
A
D
结论三:在结论一中如果点D不在边BC,是在三角形ABC的内部或外部,在图(三)中,,则,在图(四)中,则,证明先找到AD与BC的交点,转化为第一种情形,即三点在同一条直线上,再应用向量共线定理进行转化。
三、应用举例
例1、(2010年全分
∠ACB,若,则=( )
A、 B、
C、 D、
分析:本题就是考查共线向量定理推论的一道典型题目,只要画出图,应用上面的结论一,便可解之,迅速得出正确答案。由题目可知,A、D、B三点共线,满足推论,所以左边系数之和等于右系数之和,向量系数为1,所以排出C、D答案。
A D B
C
解析:如图由角平分线性质定理知:
即
技巧点拨:本题应用了两个重要的知识点,一、共线向量定理的推论,即:,二、角平分线的性质定理,即△ABC中,D在AB上,如果CD平分∠ACB,则.
例2:(2010年湖北卷)已知△ABC和点M满足,若存在实数m使得成立,则m=
A、2 B、3 C、4 D、5
分析:此题最易犯错选择A答案。应用左边系数之和等于右边系数之和的条件是
:三点要共线,但此题的B、