文档介绍：第4章等参数单元
等参数单元概念
平面等参数单元
自然坐标和插值函数
第三章有限元分析的思路,十分严谨、明确,但是过于繁琐。对于常应变三角形单元还可行。
如二维8节点四边形,16个待定系数,人工几乎难以完成;
三维20节点单元,20×3个待定系数。
解决途径:
形函数是单元位移的插值函数,可以利用数学中的“插值函数”直接给出形函数。
自然坐标和插值函数
(局部)自然坐标
取2×2正方形(母单元)的两对边中点作为该正方形的局部坐标系,以Oξη表示,并且规定ξ,η的坐标值有效取值范围在0到±1之间。
坐标值:在中心点(原点):ξ=η=0;
正方形的各边:ξ=±1,η=±1;
各角点:ξ=1或-1, η=1或-1;
正方形内部的任一点:由局部坐标来定义, ξ、η在±1之间,即P(ξ,η)。
任意四边形单元(子单元):定义同上。
二者具有相互映射的关系。
自然坐标:这种基于四边形形状而定义的坐标系,是同任意四边形的自然形状相关的,故称之为“自然坐标”。
如果在四边形的各边中点增加节点,即构成更高精度的单元。
曲边8节点四边形单元,相应的自然坐标ξ,η轴也呈曲线形。同样与母单元具有相互映射的关系。
以此类推,更多节点的任意四边形(12节点,16节点等)也具有同样的特性。
高精度四边形单元:
自然坐标的优点:
,其坐标特性是相同的,因此可以用统一的表达式来描述,这有利于推导统一的有限元公式;
,有利于实现数值积分运算,这就克服了高精度单元的刚度矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的困难;
(8节点及以上)单元,单元边界可以是直边或曲边,就可以更好地逼近实际物体复杂的几何形状。
拉格朗日插值:若函数F(x)在m个点上有已知值,则可以用在这些点上的已知值构造一个不超过n=(m-1)阶的代数多项式来近似。该函数f(x)在所有已知点处均满足f(xi)=F(xi)。
记为:
拉格朗日插值
式中
称为n阶拉格朗日插值函数,也叫“拉格朗日乘子”,可由下式求得:
可简写为
上标n表示函数的幂次,下标i表示对应的已知点(或节点)。

两点插值:
三点插值:
高次的拉格朗日插值,均可由最简单的线性插值的某种组合来表示。
如采用自然坐标系,取则可以把拉格朗日插值函数的公式表示如下:
两点插值:
三点插值:

m,p分别为两个坐标方向上的插值点数目。
n=m-1,q=p-1,为插值函数的幂次。
通常都在两个坐标方向取相同数目的点。
若在ξ,η方向均取两点插值,则:
等参数单元的概念
平面问题的单元,最简单的是三节点三角形单元,其次是四节点矩形单元。
三角形单元适应性强,较容易进行网格划分,能应用与曲折的几何边界,但精度较低。特别是在应力集中部位容易产生较大误差。
矩形单元精度较高,形状规整,但适应性差,不便用于曲线边界和非正交的直线边界。应用不多。
等参数四边形单元:将整体坐标系(x,y)中的四边形(4节点、8节点,12节点等)单元,变换为局部(自然)坐标系(ξ,η)中的规则正方形,运用插值函数,建立位移模式,进行有限元分析,其坐标变换式和位移模式采用同样的形函数和相同的参数。