文档介绍：三种截面悬臂梁强度试验结果的预期分析
问题
在“苏教版”《技术与设计2》中,给出了一个“小试验”。该试验要求对截面形状分别为环状矩形、环状圆形和环状三角形的悬臂梁进行强度对比,看看哪种截面形状的梁承受的“力”更大。关于试验的要求和具体操作请参看教材。
保证可比性的三点规定
1. 三种截面外围图形的面积相等;
2. 环状截面的厚度相等;
3. 三种截面外围图形的高度相等。
一、关于悬臂梁的载荷
悬臂梁是梁类结构的一种,其主要特征是梁的一端和支座的连接形式为“固定连接”(有时简称为“固连”或“固支”)。这种连接形式可以提供阻止结构转动、移动的约束。梁的另一端为自由端。其受力示意图如下。
图中,
P是试验时施加在自由端的法码的重量
Q是固定支座阻止梁移动的约束力,作用在梁的根部,且有 P=Q
M是固定支座阻止梁转动的约束力矩(也可叫做反力矩)。且有
M=(P,Q)形成的力偶矩
=PL
显然,梁在P,Q,(P,Q)力偶矩和M的作用下处于平衡状态。既不移动,也不转动。P,Q;(P,Q)力偶矩和M,就是此时作用在梁上的平衡力系。它们都是分别由施力体和支座施加给梁的外力。
在上述各力的作用下,梁会产生两种变形,一是因横向力P,Q而产生的剪切变形,因此在截面上会产生剪应力(抵抗变形的内力)。另一种变形就是由力矩作用而产生的弯曲,从而,在截面上会产生抵抗弯曲变形的正应力。这是内力。正应力的合力而形成的力矩,称为弯矩。因而弯矩是内力。
在此题中,剪应力在梁的各个截面上是相等的。一般情况下,这种剪切变形对梁来说不是主要的,我们也不在这里作进一步分析。
在本问题中,弯矩是随截面的位置不同而变化的,自由端弯矩为零,根部截面弯矩最大,产生的应力当然也是最大的。因此,下面的分析中,我们都是以根部截面为对象,其最大载荷为:
M=PL
一、实心截面梁的强度比较
在分析环状截面之前,我们先对实心截面梁的强度作一分析。如图
设:
矩形截面的高为h, 宽为b;
圆的直径为D,且有 D=h;
根据截面面积相等的规定,则有:
b=πh/4=
C=2b=
根据材料力学推得的结果,在截面弯矩为M时,离中性轴为y处的应力表达式为:
σ=My/IX