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极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题;
条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外,还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法

定理1(充分条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令
fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C,
则f (x, y)在(x0, y0)处是否取得极值的条件如下:
(1) AC-B2>0时具有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值;
(2) AC-B2<0时没有极值;
(3) AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法:
第一步解方程组fx(x, y)=0, fy(x, y)=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步对于每一个驻点(x0, y0), 求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步定出AC-B2的符号, 按定理1的结论判定f(x0, y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
应注意的几个问题:
⑴对于二元函数z=f(x, y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用;
⑵AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论;
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点,讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数的极值。
解令
得驻点及
又由

故为极小值。
由于

,此时有通常的方法无法判定。
令,则,由
得驻点
又
故在处取极大值,即函数在圆周上取极大值
,而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题,对此可由二次型的正定性加以解决。
定义1 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。记, 称为函数在点处的梯度。
定义2 满足的点称为函数的驻点。
定义3
称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。
定理2(极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导数,且为该函数的极值点,则。
定理3(极值的充分条件) 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数,且
则(1)当为正定矩阵时,为的极小值
(2)当为负定矩阵时,为的极大值
(3)当为不定矩阵时,不是的极值。
应注意的问题:
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.
例1 求三元函数的极值。
解先求驻点,由
得
所以驻点为。
再求(Hessian)黑塞矩阵
因为
所以,可知是正定的,所以在点取得极小值:.
当然,此题也可用初等方法求得极小值,结果一样。
二、求解条件极值的常用方法

从一道错误的例题谈条件极值的代入法[1] (这里全文引用)
同济大学出版的教材(高等数学(第二版下).上海:同济大学出版社,)在介绍条件极值时举了这样的一道例题:
“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同,第一个工厂生产单位产品和第二个工厂生产单位产品时的总成本是。若公司的生产任务是500个单位产品,问如何分配任务才能使总成本最小?
解:根据题意,是求函数在在条件下的极值。作辅助函数
令,解得,所以根据题意知,当第一个工厂生产125个单位产品、第二个工厂生产375个单位产品时总成本最小。”
上述解法,粗看起来好象没有什么毛病,但却是经不起推敲的。简单的验证可知,本例求出的总成本为,但却不是最小,譬如,就比求得的“最小值”小了一半还要多!事实上,点(125,375)不是最小值点,而是最大值点。究其原因,主要是解题方法选择不当造成的。我们知道,求解自变量不超过三个的条件极值问题,既可以用拉格朗日乘数法,也可以用代入法。用拉格朗日乘数法虽然很方便,但极值点的判定却比较麻烦。对这个问题,几乎所有的教材都没有作出正面的回答,只指出了用这种方法求出的极值点是“可能的”极值点,“至于如何确定所求得的点是否为极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定”。然而许多实际问题中,根据问题本身的性质却无法确定究竟是极大还是极小。在这种情况下,采用代入法则可以有效地解决极值点的判定问题。本例中,由于总成本究竟是最小还是最大并不好判定,因而采用