文档介绍：求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题;条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外,还受其他条件限制的极值问题。一、(充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:(1)AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;(2)AC-B2<0时没有极值;(3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值。极值的求法:第一步解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切实数解,即可得一切驻点。第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B和C。第三步定出AC-B2的符号,按定理1的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。应注意的几个问题:⑴对于二元函数z=f(x,y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法,但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用;⑵AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论;⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点,讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。例1求函数的极值。解令得驻点及又由故为极小值。由于,此时有通常的方法无法判定。令,则,由得驻点又故在处取极大值,,而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题,对此可由二次型的正定性加以解决。定义1设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。记,称为函数在点处的梯度。定义2满足的点称为函数的驻点。定义3称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。定理2(极值存在的必要条件)设函数在点处存在一阶偏导数,且为该函数的极值点,则。定理3(极值的充分条件)设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数,且则(1)当为正定矩阵时,为的极小值(2)当为负定矩阵时,为的极大值(3)当为不定矩阵时,不是的极值。应注意的问题:利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足, 求三元函数的极值。解先求驻点,由得所以驻点为。再求(Hessian)黑塞矩阵因为所以,可知是正定的,所以在点取得极小值:.当然,此题也可用初等方法求得极小值,结果一样。二、[1](这里全文引用)同济大学出版的教材(高等数学(第二版下).上海:同济大学出版社,)在介绍条件极值时举了这样的一道例题:“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同,第一个工厂生产单位产品和第二个工厂生产单位产品时的总成本是。若公司的生产任务是500个单位产品,问如何分配任务才能使总成本最小?解:根据题意,是求函数在在条件下的极值。作辅助函数令,解得,所以根