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浅谈矩阵的对角化问题.doc

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浅谈矩阵的对角化问题.doc

上传人:zxwziyou8 2018/9/18 文件大小:3.61 MB

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浅谈矩阵的对角化问题.doc

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文档介绍

文档介绍:苏州大学
本科毕业论文
(2012届)
浅谈矩阵的对角化问题

 学号
0807402069
姓名
马莉莹
院系
数学科学学院
  专业
数学与应用数学(师范)
指导老师
朱广俊
目录

中文摘要 1
ABSTRACT 2
前言 3
第一章矩阵相似对角化问题的引入 4
第二章矩阵相似对角化的条件 5
第三章矩阵对角化的若干方法 7
一般矩阵对角化的方法 7
实对称矩阵对角化的方法 20
第四章特殊矩阵的对角化 27
总结 31
参考文献 32
致谢 33

中文摘要
矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题,本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件;从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法;最后,分析了一些特殊矩阵的对角化问题,如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等.
关键词:对角化,特征值,特征向量,相似变换,线性变换.


Abstract
Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix,real symmetric matrix and hermite matrix.
Keywords : diagonalization,eigenvalue,eigenvectors,
similarity transformation,linear transformation.


前言
,人们在研究行列式的性质和计算时,,矩阵对角化的应用前景也变得更为广阔.
对角矩阵是一类最简单的矩阵,它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、,许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩阵等价,而对角矩阵的性质很容易从它自身元素的特点得出,所以对于可对角化的矩阵,我们只要研究它的相似标准形即可.
本文主要简述了矩阵可对角化的若干条件;从初等变换,线性方程组,特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法;最后,分析了一些特殊矩阵的对角化问题,如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等.
符号说明
数域
复数域
数域上的线性空间
的全体线性变换的集合
数域上的维向量全体所组成的集合
数域上的阶矩阵的集合
单位矩阵
矩阵的逆
矩阵的转置
矩阵的共轭转置
矩阵的秩
矩阵的迹
第一章矩阵相似对角化问题的引入
在高等代数中,对于有限维线性变换的研究,主要有两种方法.
第一种:对某空间的全体线性变换的集合引进运算:加法、.
第二种:在空间中取定一组基,建立起线性变换与矩阵之间的一一对应关系,通过对线性变换所对应的矩阵的线性性质的探索了解,来获得线性变换的线性性质的相关信息.
当利用矩阵这一工具来研究线性变换时,我们自然希望它所对应的矩阵较为简单,最好为对角矩阵,:
(1) 对一个线性空间中的线性变换而言,是否一定存在某个基,使得它对应的矩阵是对角形的?
(2) 若存在,则需满足什么条件?将矩阵变为对角矩阵又有哪些方法?
(3) 若不存在,那么我们能否退而求其次,使得线性变换在某一基下的矩阵是准对角矩阵?
事实上,对于第三个问题,在复数域上已得到了非常完美的解决,